ГДЗ: § 14 / Испытания до первого успеха / Вероятность и статистика 10 класс

\( p = q = \frac12 \), \( P(k) = \left(\frac12\right)^k \). Во втором испытании — \( \frac14 \), в третьем — \( \frac18 \). Сумма всех \( P(k) \) равна 1, поэтому вероятность того, что орёл не выпадет никогда, равна 0.

\( p = \frac16 \), \( q = \frac56 \). В первом испытании — \( \frac16 \); во втором — \( qp = \frac56 \cdot \frac16 = \frac{5}{36} \); никогда — 0.

Успех — обе монеты на одной стороне (ОО или РР): \( p = \frac24 = \frac12 \), \( q = \frac12 \). Во втором испытании — \( qp = \frac14 \), в третьем — \( q^2 p = \frac18 \), никогда — 0.

Антон бросает первым и выигрывает, если первая шестёрка выпадет в нечётном испытании: \( p + q^2 p + q^4 p + \ldots = \dfrac{p}{1 - q^2} = \dfrac{1}{1 + q} \). При \( q = \frac56 \): \( P = \dfrac{1}{1 + 5/6} = \dfrac{6}{11} \approx 0{,}545 \). У Бориса \( \dfrac{5}{11} \); преимущество первого хода здесь меньше, чем с монетой.

Нужно \( 1 - \left(\frac12\right)^n > 0{,}9 \), то есть \( \left(\frac12\right)^n < 0{,}1 \). \( \frac18 = 0{,}125 > 0{,}1 \), \( \frac{1}{16} = 0{,}0625 < 0{,}1 \). Ответ: 4 раза.

Нужно \( \left(\frac56\right)^n < 0{,}1 \). Перебираем: \( \left(\frac56\right)^{12} \approx 0{,}112 \), \( \left(\frac56\right)^{13} \approx 0{,}093 \). Ответ: 13 кубиков.

Основная — БИНОМРАСП(k; N; p; 0), она сразу даёт \( P_N(k) \). Ту же вероятность можно собрать по формуле Бернулли из ЧИСЛКОМБ(N; k) (число сочетаний) и степеней \( p \) и \( q \); при необходимости факториалы считает ФАКТР(N).

Четыре: число успехов \( k \); число испытаний \( N \); вероятность успеха \( p \); признак накопления — 0 (вероятность ровно \( k \) успехов) или 1 (вероятность от 0 до \( k \) успехов, то есть сумма \( P_N(0) + \ldots + P_N(k) \)).

Записать вероятность успеха в отдельную ячейку (например, D2), а в столбце результатов ввести формулу =ЕСЛИ(СЛЧИС()<$D$2;1;0) и скопировать её вниз на нужное число испытаний: СЛЧИС() даёт случайное число от 0 до 1, и оно меньше \( p \) ровно с вероятностью \( p \). Число успехов считают функцией СЧЁТЕСЛИ(диапазон; 1). Нажатие F9 пересчитывает лист — получается новая серия.

Не знающий предмета студент угадывает: \( N = 20 \), \( p = 0{,}25 \). В A1:A21 — числа 0…20; в B1 — =БИНОМРАСП(A1;20;0,25;0); в C1 — вероятность ответить на \( k \) и больше вопросов: =1-БИНОМРАСП(A1-1;20;0,25;1) (для \( k = 0 \) она равна 1). Получаем (рис. 92):

Зачёт с порогом \( k \) угадывающий студент получит с вероятностью из столбца C. Она впервые становится не больше 0,5 при \( k = 6 \) (0,383), не больше 0,1 — при \( k = 9 \) (0,041), не больше 0,01 — при \( k = 11 \) (0,0039).

Ответ: зачёт за 6, 9 и 11 правильных ответов соответственно.

Ход работы. В B1 — 0,25. В A1 — =ЕСЛИ(СЛЧИС()<$B$1;1;0), копируем до A20: каждая ячейка — ответ на один вопрос (1 — угадал). В B2 — =СУММ(A1:A20) или =СЧЁТЕСЛИ(A1:A20;1) — число верных ответов в серии. Нажимая F9, получаем новые серии; значение B2 обычно колеблется от 2 до 8. Записываем результат каждой серии в очередную ячейку столбца C (вводим число вручную — при вводе лист пересчитывается, и следующая серия готова). Набрав, например, 50 серий, считаем частоты: =СЧЁТЕСЛИ(C:C;k)/50 для \( k = 0, \ldots, 20 \) и долю серий с \( k \) и больше успехами.

Пример результата 50 серий: число успехов 2 — 4 серии, 3 — 7, 4 — 10, 5 — 11, 6 — 8, 7 — 5, 8 — 3, 9 — 2, 10 и больше — 0. Доля серий с 6 и более успехами \( \frac{18}{50} = 0{,}36 \) (теория 0,383), с 9 и более — \( \frac{2}{50} = 0{,}04 \) (теория 0,041), с 11 и более — 0 (теория 0,004). Частоты близки к вероятностям из задания 1; чем больше серий, тем ближе. Наиболее частое число успехов — 5, как и предсказывает теорема (\( Np - q = 4{,}25 \)).