ГДЗ: Упражнение 275 - Параграф § 14 (Испытания до первого успеха) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

275 упражнение: ^*

Артём бросает монету 2 раза, а Богдан — 3 раза. У кого выпало больше орлов, выигрывает. Если орлов выпало поровну, то броски повторяются до победы одного из игроков. С какой вероятностью каждый из них выиграет?

Найдите вероятности выигрыша.

Ответ

Одна партия. Число орлов у Артёма $ A $: 0, 1, 2 с вероятностями $ \frac14, \frac12, \frac14 $; у Богдана $ B $: 0, 1, 2, 3 с вероятностями $ \frac18, \frac38, \frac38, \frac18 $. Броски независимы.

Артём выигрывает ($ A > B $): $ A = 1, B = 0 $: $ \frac12 \cdot \frac18 $; $ A = 2, B \le 1 $: $ \frac14 \cdot \frac48 $. Итого $ \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{3}{16} $.
Ничья ($ A = B $): $ \frac14 \cdot \frac18 + \frac12 \cdot \frac38 + \frac14 \cdot \frac38 = \frac{1 + 6 + 3}{32} = \frac{5}{16} $.
Богдан выигрывает: $ 1 - \frac{3}{16} - \frac{5}{16} = \frac{8}{16} $.

Вся игра. Партии повторяются до первой результативной; результативная партия заканчивается победой Артёма с вероятностью $ \dfrac{3/16}{3/16 + 8/16} = \dfrac{3}{11} $, Богдана — $ \dfrac{8}{11} $. (Формально: $ P(\text{Артём}) = \frac{3}{16}\left(1 + \frac{5}{16} + \left(\frac{5}{16}\right)^2 + \ldots\right) = \frac{3/16}{1 - 5/16} = \frac{3}{11} $.)

Ответ: в одной партии Артём выигрывает с вероятностью $ \frac{3}{16} $, Богдан — $ \frac{8}{16} $, ничья — $ \frac{5}{16} $; во всей игре Артём — $ \frac{3}{11} $, Богдан — $ \frac{8}{11} $.

Что применять при решении

Вероятность первого успеха на k-м шаге

Испытания Бернулли проводятся до появления первого успеха; фиксированного числа испытаний нет, исходы — последовательности 1, 01, 001, 0001, … (их бесконечно много). Первый успех на первом шаге — вероятность $ p $; на втором — $ qp $ (неудача, затем успех); на третьем — $ q^2 p $ и т. д. Числа $ P(k) $ образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $ p $ и знаменателем $ q < 1 $. Для монеты $ P(k) = (1/2)^k $: 0,5; 0,25; 0,125; …; для кубика (успех — шестёрка) $ P(k) = 5^{k-1}/6^k $: 0,167; 0,139; 0,116; …

$ P(k) = q^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots $

Сумма вероятностей и «успех обязательно наступит»

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $ p + qp + q^2 p + \ldots = \dfrac{p}{1-q} = 1 $. Значит, первый успех обязательно наступит на каком-то шаге — ждать его бесконечно долго не придётся (вероятность «успех никогда не наступит» равна 0). Для вычисления вероятностей событий приходится складывать бесконечное число слагаемых — сумму геометрической прогрессии.

$ \sum_{k=1}^{\infty} q^{k-1} p = 1 $

Типовые события и их вероятности

«Понадобится больше $ n $ попыток» — первые $ n $ испытаний неудачны: $ q^n $ (это же — сумма $ q^n p + q^{n+1} p + \ldots $). «Не больше $ n $ попыток» — $ p + qp + \ldots + q^{n-1} p = 1 - q^n $. Игра «кто первым выбросит орла»: первый игрок выигрывает при успехе в нечётном испытании — $ p + q^2 p + q^4 p + \ldots = \dfrac{p}{1 - q^2} = \dfrac{1}{1+q} $, второй — $ \dfrac{q}{1+q} $; для монеты $ \frac23 $ и $ \frac13 $: игра несправедлива, ничьих не бывает.

$ P(\text{первый успех позже } n\text{-го шага}) = q^n, \qquad P(\text{не позже } n\text{-го}) = 1 - q^n $

Обратная задача: сколько испытаний провести

Чтобы успех наступил с вероятностью не меньше заданной $ \alpha $, нужно наименьшее $ n $, при котором $ 1 - q^n \ge \alpha $, то есть $ q^n \le 1 - \alpha $. Значение $ n $ находят перебором степеней $ q $ (или логарифмированием). Пример: тест обнаруживает ошибку с вероятностью 0,2; для выявления ошибки с вероятностью больше 0,99 нужен 21 тест ($ 0{,}8^{20} > 0{,}011 $, $ 0{,}8^{21} < 0{,}0093 $).

$ q^n \le 1 - \alpha \;\Leftrightarrow\; n \ge \dfrac{\ln(1-\alpha)}{\ln q} $

Испытания Бернулли в электронной таблице

ФАКТР(N) — факториал; ЧИСЛКОМБ(N; k) — $ C_N^k $; БИНОМРАСП(k; N; p; 0) — $ P_N(k) $, БИНОМРАСП(k; N; p; 1) — $ P_N(0) + \ldots + P_N(k) $. Одно испытание Бернулли моделируют формулой =ЕСЛИ(СЛЧИС()<$D$2;1;0), где в D2 записана вероятность успеха (абсолютная ссылка не сдвигается при копировании); число успехов в серии считает СЧЁТЕСЛИ(); клавиша F9 разыгрывает новую серию.

Другие упражнения из параграфа § 14

258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269^* 270^* 271^* 272^* 273^* 274^* 275^* 276^* 277^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6. Испытания Бернулли. Случайный выбор
Параграф: § 14 — Испытания до первого успеха
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.