Разбор упражнения

ГДЗ: Упражнение 274 - § 14 (Испытания до первого успеха) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

Глава 6. Испытания Бернулли. Случайный выбор Страницы: 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156 * Повышенная сложность

А вы знали? Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word. Попробовать

274 упражнение: ^*

Петя и Вася бросают монету, пока не появятся подряд ОО или ОР (буква О соответствует орлу, буква Р — решке). Если раньше появится ОО — выигрывает Вася, если ОР — Петя. а) У кого больше шансов на выигрыш? б) Петя изменил свою тактику и поставил на РО. Изменится ли ответ?

а) ОО (Вася) против ОР (Петя).

Ответ

Пока орёл не выпал, ни одна из комбинаций появиться не может. Как только выпал первый орёл, всё решает следующий бросок: орёл — образуется ОО (Вася), решка — ОР (Петя). Оба исхода равновероятны.

Ответ: шансы одинаковые, по $ \dfrac12 $.

б) ОО (Вася) против РО (Петя).

Ответ

Если первый бросок — решка, то до появления первого орла в серии стоят одни решки, и первый же орёл образует РО: побеждает Петя. Если первый бросок — орёл, а второй — тоже орёл, сразу побеждает Вася (ОО). Если первый — орёл, второй — решка, то снова перед ближайшим орлом стоит решка, и Петя получит РО раньше, чем сможет появиться ОО. Итак, Вася выигрывает только при ОО в первых двух бросках: $ \dfrac14 $; Петя — $ \dfrac34 $.

Ответ: да, изменится: у Пети шансы $ \dfrac34 $, у Васи — $ \dfrac14 $.

Что применять при решении

Вероятность первого успеха на k-м шаге

Испытания Бернулли проводятся до появления первого успеха; фиксированного числа испытаний нет, исходы — последовательности 1, 01, 001, 0001, … (их бесконечно много). Первый успех на первом шаге — вероятность $ p $; на втором — $ qp $ (неудача, затем успех); на третьем — $ q^2 p $ и т. д. Числа $ P(k) $ образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $ p $ и знаменателем $ q < 1 $. Для монеты $ P(k) = (1/2)^k $: 0,5; 0,25; 0,125; …; для кубика (успех — шестёрка) $ P(k) = 5^{k-1}/6^k $: 0,167; 0,139; 0,116; …

$ P(k) = q^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots $

Сумма вероятностей и «успех обязательно наступит»

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $ p + qp + q^2 p + \ldots = \dfrac{p}{1-q} = 1 $. Значит, первый успех обязательно наступит на каком-то шаге — ждать его бесконечно долго не придётся (вероятность «успех никогда не наступит» равна 0). Для вычисления вероятностей событий приходится складывать бесконечное число слагаемых — сумму геометрической прогрессии.

$ \sum_{k=1}^{\infty} q^{k-1} p = 1 $

Типовые события и их вероятности

«Понадобится больше $ n $ попыток» — первые $ n $ испытаний неудачны: $ q^n $ (это же — сумма $ q^n p + q^{n+1} p + \ldots $). «Не больше $ n $ попыток» — $ p + qp + \ldots + q^{n-1} p = 1 - q^n $. Игра «кто первым выбросит орла»: первый игрок выигрывает при успехе в нечётном испытании — $ p + q^2 p + q^4 p + \ldots = \dfrac{p}{1 - q^2} = \dfrac{1}{1+q} $, второй — $ \dfrac{q}{1+q} $; для монеты $ \frac23 $ и $ \frac13 $: игра несправедлива, ничьих не бывает.

$ P(\text{первый успех позже } n\text{-го шага}) = q^n, \qquad P(\text{не позже } n\text{-го}) = 1 - q^n $

Обратная задача: сколько испытаний провести

Чтобы успех наступил с вероятностью не меньше заданной $ \alpha $, нужно наименьшее $ n $, при котором $ 1 - q^n \ge \alpha $, то есть $ q^n \le 1 - \alpha $. Значение $ n $ находят перебором степеней $ q $ (или логарифмированием). Пример: тест обнаруживает ошибку с вероятностью 0,2; для выявления ошибки с вероятностью больше 0,99 нужен 21 тест ($ 0{,}8^{20} > 0{,}011 $, $ 0{,}8^{21} < 0{,}0093 $).

$ q^n \le 1 - \alpha \;\Leftrightarrow\; n \ge \dfrac{\ln(1-\alpha)}{\ln q} $

Испытания Бернулли в электронной таблице

ФАКТР(N) — факториал; ЧИСЛКОМБ(N; k) — $ C_N^k $; БИНОМРАСП(k; N; p; 0) — $ P_N(k) $, БИНОМРАСП(k; N; p; 1) — $ P_N(0) + \ldots + P_N(k) $. Одно испытание Бернулли моделируют формулой =ЕСЛИ(СЛЧИС()<$D$2;1;0), где в D2 записана вероятность успеха (абсолютная ссылка не сдвигается при копировании); число успехов в серии считает СЧЁТЕСЛИ(); клавиша F9 разыгрывает новую серию.

Не сходится своя задача? Разберём по шагам

Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации

Решить задачу Разбор задачи бесплатный

Другие упражнения из параграфа § 14

258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269^* 270^* 271^* 272^* 273^* 274^* 275^* 276^* 277^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6. Испытания Бернулли. Случайный выбор
Параграф: § 14 — Испытания до первого успеха
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Задали работу по этой теме?

Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.

Создать проект Готовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.