1.
Перечислите требования, которым должны удовлетворять испытания Бернулли.
Ответ
1) Каждое испытание имеет ровно два исхода — успех и неудачу (любое интересующее событие \( A \) и противоположное \( \bar A \)). 2) Вероятности успеха \( p \) и неудачи \( q = 1 - p \) одинаковы во всех испытаниях серии и не меняются в ходе её проведения. 3) Испытания независимы: результаты предыдущих не влияют на вероятности в последующих.
2.
Приведите примеры испытаний Бернулли.
Ответ
Многократное подбрасывание монеты (\( p = q = \frac12 \)); подбрасывание канцелярской кнопки (\( p \ne q \), значения оценивают по частотам); броски кубика, если успех — «выпала шестёрка» (\( p = \frac16 \)); проверка деталей на брак; серия выстрелов по мишени (если пренебречь психологическим фактором); ответы наугад на вопросы теста с четырьмя вариантами (\( p = \frac14 \)); ежедневные визиты посетителей на сайт с кликом по баннеру.
3.
Почему случайный выбор без возвращения нельзя считать испытаниями Бернулли?
Ответ
При выборе без возвращения состав множества после каждого испытания меняется, и вместе с ним меняется вероятность успеха: если из 5 пирожков с капустой и 5 с повидлом первым вынут пирожок с капустой, то вероятность успеха во втором испытании падает с \( 0{,}5 \) до \( \frac49 \), а если с повидлом — растёт до \( \frac59 \). Нарушаются сразу оба требования: постоянство \( p \) и независимость испытаний.
Пункт 2. Формула Бернулли
1.
Сколько всего двоичных кодов длины N?
Ответ
\( 2^N \): каждая из \( N \) цифр выбирается двумя способами. Столько же исходов у серии из \( N \) испытаний Бернулли.
2.
Сколько двоичных кодов длины N, в которых ровно k единиц?
Ответ
\( C_N^k \) — столько способов выбрать \( k \) мест из \( N \) для единиц; на остальные места ставятся нули.
3.
Если в серии из 10 испытаний Бернулли 4 успеха и 6 неудач, чему равна её вероятность?
Ответ
По правилу умножения для независимых событий вероятность конкретной серии равна \( p^4 q^6 \) — независимо от того, в каком порядке чередуются успехи и неудачи. (Вероятность того, что успехов будет ровно 4, в \( C_{10}^4 = 210 \) раз больше.)
4.
Запишите формулу Бернулли.
Ответ
Вероятность получить ровно \( k \) успехов в \( N \) испытаниях Бернулли с вероятностью успеха \( p \) и неудачи \( q = 1 - p \): \( P_N(k) = C_N^k p^k q^{N-k} \).
Пункт 3. Наиболее вероятное число успехов
1.
Монету бросают 5 раз. Какое число орлов наиболее вероятно?
2.
Монету бросают 6 раз. Какое число орлов наиболее вероятно?
Ответ
\( Np - q = 3 - 0{,}5 = 2{,}5 \) — не целое; единственное целое число на отрезке \( [2{,}5;\ 3{,}5] \) — это 3. Наиболее вероятно 3 орла (\( P_6(3) = \frac{20}{64} \)).
3.
Кубик бросают 6 раз. Какое число двоек наиболее вероятно?
Ответ
Успех — выпадение двойки, \( p = \frac16 \), \( q = \frac56 \). \( Np - q = 1 - \frac56 = \frac16 \); отрезок \( \left[\frac16;\ \frac76\right] \) содержит единственное целое число 1. Наиболее вероятна одна двойка.
Что применять при решении
Испытания Бернулли: успех и неудача
Испытаниями Бернулли называют серию одинаковых независимых случайных опытов, каждый из которых может завершиться одним из двух исходов — успехом (вероятность \( p \)) или неудачей (вероятность \( q = 1 - p \)). Названия условны: успехом можно назвать любое интересующее нас событие \( A \), а неудачей — \( \bar A \); так серия бросков кубика с успехом «выпала шестёрка» (\( p = \frac16 \)) становится испытаниями Бернулли. Два требования: вероятности \( p \) и \( q \) постоянны, а испытания независимы. Случайный выбор без возвращения (пирожки съедаются) испытаниями Бернулли не является: вероятность успеха меняется от испытания к испытанию.
\( p + q = 1 \)
Формула Бернулли
Исход серии из \( N \) испытаний — двоичный код длины \( N \) (1 — успех, 0 — неудача); всего исходов \( 2^N \), но они не равновозможны. Вероятность конкретной серии зависит только от числа успехов: серия с \( k \) успехами и \( N - k \) неудачами имеет вероятность \( p^k q^{N-k} \). Серий с ровно \( k \) успехами столько, сколькими способами можно выбрать \( k \) мест для единиц, — \( C_N^k \). Отсюда вероятность ровно \( k \) успехов в \( N \) испытаниях. Примеры: \( P_8(4) = C_8^4 / 2^8 \approx 0{,}273 \); \( P_{10}(2) = C_{10}^2 (1/6)^2 (5/6)^8 \approx 0{,}291 \); \( P_{20}(12) \) при \( p = 1/4 \) — всего 0,000752. В ЭТ: БИНОМРАСП(k; N; p; 0) даёт \( P_N(k) \), БИНОМРАСП(k; N; p; 1) — сумму \( P_N(0) + \ldots + P_N(k) \).
\( P_N(k) = C_N^k \, p^k q^{N-k} \)
Наиболее вероятное число успехов
Число успехов в серии из \( N \) испытаний чаще всего оказывается около \( Np \); по мере удаления от \( Np \) вероятность быстро убывает. Теорема: наиболее вероятное число успехов \( x \) удовлетворяет неравенству \( Np - q \le x \le Np - q + 1 \). Если \( Np - q \) — не целое, наиболее вероятное число одно; если целое — таких чисел два (\( Np - q \) и \( Np - q + 1 \)). Примеры: 8 бросков монеты — 4 орла; 10 бросков кубика — 1 шестёрка; 20 вопросов теста с \( p = \frac14 \) — 5 угаданных ответов. Доказательство — через отношение \( \dfrac{P_N(k+1)}{P_N(k)} = \dfrac{(N-k)p}{(k+1)q} \).
\( Np - q \le x \le Np - q + 1 \)
Классические задачи об играх
Задача де Мере: получить хотя бы одну единицу в 4 бросках кости (\( 1 - (5/6)^4 \approx 0{,}518 \)) вероятнее, чем хотя бы одну пару единиц в 24 бросках двух костей (\( 1 - (35/36)^{24} \approx 0{,}491 \)), хотя \( 4/6 = 24/36 \). Задача Пипса: шансы получить хотя бы 1 шестёрку из 6, хотя бы 2 из 12, хотя бы 3 из 18 различны и убывают: 0,665; 0,619; 0,597. Задача Пачоли о разделе ставки: приз делят пропорционально вероятностям довести прерванную игру до победы — эти вероятности считают по формуле Бернулли для оставшихся партий.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
