Что вероятнее — выиграть у равного по силе противника: а) три партии из шести или четыре партии из восьми; б) более трёх партий из шести или более четырёх партий из восьми; в) более \( n \) партий из \( 2n \) или более \( n + 1 \) партий из \( 2n + 2 \)?
Сравните вероятности в каждом случае.
Ответ
\( p = q = \frac12 \), поэтому \( P_N(k) = \dfrac{C_N^k}{2^N} \).
а) Ровно 3 из 6: \( \dfrac{C_6^3}{64} = \dfrac{20}{64} \approx 0{,}313 \). Ровно 4 из 8: \( \dfrac{C_8^4}{256} = \dfrac{70}{256} \approx 0{,}273 \). Вероятнее три партии из шести.
б) Более 3 из 6 (4, 5 или 6): \( \dfrac{15 + 6 + 1}{64} = \dfrac{22}{64} \approx 0{,}344 \). Более 4 из 8 (5, 6, 7, 8): \( \dfrac{56 + 28 + 8 + 1}{256} = \dfrac{93}{256} \approx 0{,}363 \). Вероятнее более четырёх из восьми.
в) Пусть \( P_= = \dfrac{C_{2n}^n}{4^n} \) — вероятность ничьей (ровно \( n \) побед из \( 2n \)). По симметрии \( P(\text{более } n \text{ из } 2n) = \dfrac{1 - P_=}{2} \). Отношение \( \dfrac{C_{2n+2}^{n+1}}{4^{n+1}} : \dfrac{C_{2n}^n}{4^n} = \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2} = \dfrac{2n+1}{2n+2} < 1 \), то есть с ростом \( n \) вероятность ничьей убывает, а вероятность «более половины» растёт. Значит, более \( n + 1 \) партий из \( 2n + 2 \) вероятнее.
Ответ: а) три партии из шести; б) более четырёх партий из восьми; в) более \( n + 1 \) партий из \( 2n + 2 \).
Что применять при решении
Испытания Бернулли: успех и неудача
Испытаниями Бернулли называют серию одинаковых независимых случайных опытов, каждый из которых может завершиться одним из двух исходов — успехом (вероятность \( p \)) или неудачей (вероятность \( q = 1 - p \)). Названия условны: успехом можно назвать любое интересующее нас событие \( A \), а неудачей — \( \bar A \); так серия бросков кубика с успехом «выпала шестёрка» (\( p = \frac16 \)) становится испытаниями Бернулли. Два требования: вероятности \( p \) и \( q \) постоянны, а испытания независимы. Случайный выбор без возвращения (пирожки съедаются) испытаниями Бернулли не является: вероятность успеха меняется от испытания к испытанию.
\( p + q = 1 \)
Формула Бернулли
Исход серии из \( N \) испытаний — двоичный код длины \( N \) (1 — успех, 0 — неудача); всего исходов \( 2^N \), но они не равновозможны. Вероятность конкретной серии зависит только от числа успехов: серия с \( k \) успехами и \( N - k \) неудачами имеет вероятность \( p^k q^{N-k} \). Серий с ровно \( k \) успехами столько, сколькими способами можно выбрать \( k \) мест для единиц, — \( C_N^k \). Отсюда вероятность ровно \( k \) успехов в \( N \) испытаниях. Примеры: \( P_8(4) = C_8^4 / 2^8 \approx 0{,}273 \); \( P_{10}(2) = C_{10}^2 (1/6)^2 (5/6)^8 \approx 0{,}291 \); \( P_{20}(12) \) при \( p = 1/4 \) — всего 0,000752. В ЭТ: БИНОМРАСП(k; N; p; 0) даёт \( P_N(k) \), БИНОМРАСП(k; N; p; 1) — сумму \( P_N(0) + \ldots + P_N(k) \).
\( P_N(k) = C_N^k \, p^k q^{N-k} \)
Наиболее вероятное число успехов
Число успехов в серии из \( N \) испытаний чаще всего оказывается около \( Np \); по мере удаления от \( Np \) вероятность быстро убывает. Теорема: наиболее вероятное число успехов \( x \) удовлетворяет неравенству \( Np - q \le x \le Np - q + 1 \). Если \( Np - q \) — не целое, наиболее вероятное число одно; если целое — таких чисел два (\( Np - q \) и \( Np - q + 1 \)). Примеры: 8 бросков монеты — 4 орла; 10 бросков кубика — 1 шестёрка; 20 вопросов теста с \( p = \frac14 \) — 5 угаданных ответов. Доказательство — через отношение \( \dfrac{P_N(k+1)}{P_N(k)} = \dfrac{(N-k)p}{(k+1)q} \).
\( Np - q \le x \le Np - q + 1 \)
Классические задачи об играх
Задача де Мере: получить хотя бы одну единицу в 4 бросках кости (\( 1 - (5/6)^4 \approx 0{,}518 \)) вероятнее, чем хотя бы одну пару единиц в 24 бросках двух костей (\( 1 - (35/36)^{24} \approx 0{,}491 \)), хотя \( 4/6 = 24/36 \). Задача Пипса: шансы получить хотя бы 1 шестёрку из 6, хотя бы 2 из 12, хотя бы 3 из 18 различны и убывают: 0,665; 0,619; 0,597. Задача Пачоли о разделе ставки: приз делят пропорционально вероятностям довести прерванную игру до победы — эти вероятности считают по формуле Бернулли для оставшихся партий.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
