Задача шевалье де Мере. Что вероятнее: в 4 бросаниях одной игральной кости получить хотя бы один раз 1 или в 24 бросаниях двух костей хотя бы один раз получить две 1? Как вы думаете, почему эту задачу часто называют парадоксом де Мере?
Сравните вероятности и объясните «парадокс».
Ответ
Первая игра. Успех — единица, \( p = \frac16 \), \( N = 4 \). Хотя бы одна единица: \( 1 - \left(\frac56\right)^4 = 1 - \dfrac{625}{1296} \approx 0{,}518 \).
Вторая игра. Успех — две единицы на паре костей, \( p = \frac{1}{36} \), \( N = 24 \). Хотя бы один успех: \( 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 1 - 0{,}509 = 0{,}491 \).
Первая игра выгоднее: \( 0{,}518 > 0{,}491 \).
Почему «парадокс». Де Мере рассуждал «пропорционально»: единица — один из 6 исходов, на неё даётся 4 броска, \( \frac46 = \frac23 \); две единицы — один из 36 исходов, на них даётся 24 броска, \( \frac{24}{36} = \frac23 \); значит, шансы одинаковы. Опыт же показывал, что во второй игре он проигрывает чаще. Противоречие между «очевидным» рассуждением и практикой и назвали парадоксом; разрешили его Паскаль и Ферма — вероятности «хотя бы одного успеха» складываются не пропорционально числу попыток, а по формуле \( 1 - q^N \).
Ответ: вероятнее первое: \( 0{,}518 > 0{,}491 \).
Что применять при решении
Испытания Бернулли: успех и неудача
Испытаниями Бернулли называют серию одинаковых независимых случайных опытов, каждый из которых может завершиться одним из двух исходов — успехом (вероятность \( p \)) или неудачей (вероятность \( q = 1 - p \)). Названия условны: успехом можно назвать любое интересующее нас событие \( A \), а неудачей — \( \bar A \); так серия бросков кубика с успехом «выпала шестёрка» (\( p = \frac16 \)) становится испытаниями Бернулли. Два требования: вероятности \( p \) и \( q \) постоянны, а испытания независимы. Случайный выбор без возвращения (пирожки съедаются) испытаниями Бернулли не является: вероятность успеха меняется от испытания к испытанию.
\( p + q = 1 \)
Формула Бернулли
Исход серии из \( N \) испытаний — двоичный код длины \( N \) (1 — успех, 0 — неудача); всего исходов \( 2^N \), но они не равновозможны. Вероятность конкретной серии зависит только от числа успехов: серия с \( k \) успехами и \( N - k \) неудачами имеет вероятность \( p^k q^{N-k} \). Серий с ровно \( k \) успехами столько, сколькими способами можно выбрать \( k \) мест для единиц, — \( C_N^k \). Отсюда вероятность ровно \( k \) успехов в \( N \) испытаниях. Примеры: \( P_8(4) = C_8^4 / 2^8 \approx 0{,}273 \); \( P_{10}(2) = C_{10}^2 (1/6)^2 (5/6)^8 \approx 0{,}291 \); \( P_{20}(12) \) при \( p = 1/4 \) — всего 0,000752. В ЭТ: БИНОМРАСП(k; N; p; 0) даёт \( P_N(k) \), БИНОМРАСП(k; N; p; 1) — сумму \( P_N(0) + \ldots + P_N(k) \).
\( P_N(k) = C_N^k \, p^k q^{N-k} \)
Наиболее вероятное число успехов
Число успехов в серии из \( N \) испытаний чаще всего оказывается около \( Np \); по мере удаления от \( Np \) вероятность быстро убывает. Теорема: наиболее вероятное число успехов \( x \) удовлетворяет неравенству \( Np - q \le x \le Np - q + 1 \). Если \( Np - q \) — не целое, наиболее вероятное число одно; если целое — таких чисел два (\( Np - q \) и \( Np - q + 1 \)). Примеры: 8 бросков монеты — 4 орла; 10 бросков кубика — 1 шестёрка; 20 вопросов теста с \( p = \frac14 \) — 5 угаданных ответов. Доказательство — через отношение \( \dfrac{P_N(k+1)}{P_N(k)} = \dfrac{(N-k)p}{(k+1)q} \).
\( Np - q \le x \le Np - q + 1 \)
Классические задачи об играх
Задача де Мере: получить хотя бы одну единицу в 4 бросках кости (\( 1 - (5/6)^4 \approx 0{,}518 \)) вероятнее, чем хотя бы одну пару единиц в 24 бросках двух костей (\( 1 - (35/36)^{24} \approx 0{,}491 \)), хотя \( 4/6 = 24/36 \). Задача Пипса: шансы получить хотя бы 1 шестёрку из 6, хотя бы 2 из 12, хотя бы 3 из 18 различны и убывают: 0,665; 0,619; 0,597. Задача Пачоли о разделе ставки: приз делят пропорционально вероятностям довести прерванную игру до победы — эти вероятности считают по формуле Бернулли для оставшихся партий.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
