ГДЗ: Упражнение 240 - Параграф § 13 (Независимые испытания) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

240 упражнение:

В подъезде горят 5 лампочек. Вероятность, что любая лампочка не перегорит в течение ближайшего месяца, равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение месяца: а) сгорят все лампочки; б) сгорит ровно одна лампочка; в) останутся гореть по крайней мере 3 лампочки?

Найдите вероятности а)–в).

Ответ

Успех — лампочка перегорела, \( p = 1 - 0{,}2 = 0{,}8 \), \( q = 0{,}2 \), \( N = 5 \).

а) \( P_5(5) = 0{,}8^5 = 0{,}32768 \approx 0{,}328 \).

б) \( P_5(1) = 5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2^4 = 5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}0016 = 0{,}0064 \).

в) Останутся гореть хотя бы 3 — значит, перегорят не больше 2: \( P_5(0) + P_5(1) + P_5(2) = 0{,}2^5 + 0{,}0064 + 10 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}008 = 0{,}00032 + 0{,}0064 + 0{,}0512 = 0{,}05792 \approx 0{,}058 \).

Ответ: а) ≈ 0,328; б) 0,0064; в) ≈ 0,058.

Что применять при решении

Испытания Бернулли: успех и неудача

Испытаниями Бернулли называют серию одинаковых независимых случайных опытов, каждый из которых может завершиться одним из двух исходов — успехом (вероятность \( p \)) или неудачей (вероятность \( q = 1 - p \)). Названия условны: успехом можно назвать любое интересующее нас событие \( A \), а неудачей — \( \bar A \); так серия бросков кубика с успехом «выпала шестёрка» (\( p = \frac16 \)) становится испытаниями Бернулли. Два требования: вероятности \( p \) и \( q \) постоянны, а испытания независимы. Случайный выбор без возвращения (пирожки съедаются) испытаниями Бернулли не является: вероятность успеха меняется от испытания к испытанию.

\( p + q = 1 \)

Формула Бернулли

Исход серии из \( N \) испытаний — двоичный код длины \( N \) (1 — успех, 0 — неудача); всего исходов \( 2^N \), но они не равновозможны. Вероятность конкретной серии зависит только от числа успехов: серия с \( k \) успехами и \( N - k \) неудачами имеет вероятность \( p^k q^{N-k} \). Серий с ровно \( k \) успехами столько, сколькими способами можно выбрать \( k \) мест для единиц, — \( C_N^k \). Отсюда вероятность ровно \( k \) успехов в \( N \) испытаниях. Примеры: \( P_8(4) = C_8^4 / 2^8 \approx 0{,}273 \); \( P_{10}(2) = C_{10}^2 (1/6)^2 (5/6)^8 \approx 0{,}291 \); \( P_{20}(12) \) при \( p = 1/4 \) — всего 0,000752. В ЭТ: БИНОМРАСП(k; N; p; 0) даёт \( P_N(k) \), БИНОМРАСП(k; N; p; 1) — сумму \( P_N(0) + \ldots + P_N(k) \).

\( P_N(k) = C_N^k \, p^k q^{N-k} \)

Наиболее вероятное число успехов

Число успехов в серии из \( N \) испытаний чаще всего оказывается около \( Np \); по мере удаления от \( Np \) вероятность быстро убывает. Теорема: наиболее вероятное число успехов \( x \) удовлетворяет неравенству \( Np - q \le x \le Np - q + 1 \). Если \( Np - q \) — не целое, наиболее вероятное число одно; если целое — таких чисел два (\( Np - q \) и \( Np - q + 1 \)). Примеры: 8 бросков монеты — 4 орла; 10 бросков кубика — 1 шестёрка; 20 вопросов теста с \( p = \frac14 \) — 5 угаданных ответов. Доказательство — через отношение \( \dfrac{P_N(k+1)}{P_N(k)} = \dfrac{(N-k)p}{(k+1)q} \).

\( Np - q \le x \le Np - q + 1 \)

Классические задачи об играх

Задача де Мере: получить хотя бы одну единицу в 4 бросках кости (\( 1 - (5/6)^4 \approx 0{,}518 \)) вероятнее, чем хотя бы одну пару единиц в 24 бросках двух костей (\( 1 - (35/36)^{24} \approx 0{,}491 \)), хотя \( 4/6 = 24/36 \). Задача Пипса: шансы получить хотя бы 1 шестёрку из 6, хотя бы 2 из 12, хотя бы 3 из 18 различны и убывают: 0,665; 0,619; 0,597. Задача Пачоли о разделе ставки: приз делят пропорционально вероятностям довести прерванную игру до победы — эти вероятности считают по формуле Бернулли для оставшихся партий.

Другие упражнения из параграфа § 13

236 237 238 239 240 241 242 243 244^* 245 246^* 247^* 248^* 249^* 250^* 251^* 252^* 253^* 254^* 255^* 256^* 257^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6. Испытания Бернулли. Случайный выбор
Параграф: § 13 — Независимые испытания
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.