ГДЗ: Упражнение 265 - Параграф § 14 (Испытания до первого успеха) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

265 упражнение:

Сколько раз нужно бросить монету, чтобы вероятность появления хотя бы одного орла стала больше 0,9? больше 0,99? больше 0,999?

Найдите число бросков для трёх порогов.

Ответ

Хотя бы один орёл за $ n $ бросков: $ 1 - \left(\frac12\right)^n $. Нужно $ \left(\frac12\right)^n < 0{,}1;\ 0{,}01;\ 0{,}001 $.

$ \frac18 = 0{,}125 > 0{,}1 $, $ \frac{1}{16} = 0{,}0625 < 0{,}1 $ — 4 броска.
$ \frac{1}{64} \approx 0{,}0156 > 0{,}01 $, $ \frac{1}{128} \approx 0{,}0078 < 0{,}01 $ — 7 бросков.
$ \frac{1}{512} \approx 0{,}00195 > 0{,}001 $, $ \frac{1}{1024} \approx 0{,}00098 < 0{,}001 $ — 10 бросков.

Ответ: 4; 7; 10.

Что применять при решении

Вероятность первого успеха на k-м шаге

Испытания Бернулли проводятся до появления первого успеха; фиксированного числа испытаний нет, исходы — последовательности 1, 01, 001, 0001, … (их бесконечно много). Первый успех на первом шаге — вероятность $ p $; на втором — $ qp $ (неудача, затем успех); на третьем — $ q^2 p $ и т. д. Числа $ P(k) $ образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $ p $ и знаменателем $ q < 1 $. Для монеты $ P(k) = (1/2)^k $: 0,5; 0,25; 0,125; …; для кубика (успех — шестёрка) $ P(k) = 5^{k-1}/6^k $: 0,167; 0,139; 0,116; …

$ P(k) = q^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots $

Сумма вероятностей и «успех обязательно наступит»

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $ p + qp + q^2 p + \ldots = \dfrac{p}{1-q} = 1 $. Значит, первый успех обязательно наступит на каком-то шаге — ждать его бесконечно долго не придётся (вероятность «успех никогда не наступит» равна 0). Для вычисления вероятностей событий приходится складывать бесконечное число слагаемых — сумму геометрической прогрессии.

$ \sum_{k=1}^{\infty} q^{k-1} p = 1 $

Типовые события и их вероятности

«Понадобится больше $ n $ попыток» — первые $ n $ испытаний неудачны: $ q^n $ (это же — сумма $ q^n p + q^{n+1} p + \ldots $). «Не больше $ n $ попыток» — $ p + qp + \ldots + q^{n-1} p = 1 - q^n $. Игра «кто первым выбросит орла»: первый игрок выигрывает при успехе в нечётном испытании — $ p + q^2 p + q^4 p + \ldots = \dfrac{p}{1 - q^2} = \dfrac{1}{1+q} $, второй — $ \dfrac{q}{1+q} $; для монеты $ \frac23 $ и $ \frac13 $: игра несправедлива, ничьих не бывает.

$ P(\text{первый успех позже } n\text{-го шага}) = q^n, \qquad P(\text{не позже } n\text{-го}) = 1 - q^n $

Обратная задача: сколько испытаний провести

Чтобы успех наступил с вероятностью не меньше заданной $ \alpha $, нужно наименьшее $ n $, при котором $ 1 - q^n \ge \alpha $, то есть $ q^n \le 1 - \alpha $. Значение $ n $ находят перебором степеней $ q $ (или логарифмированием). Пример: тест обнаруживает ошибку с вероятностью 0,2; для выявления ошибки с вероятностью больше 0,99 нужен 21 тест ($ 0{,}8^{20} > 0{,}011 $, $ 0{,}8^{21} < 0{,}0093 $).

$ q^n \le 1 - \alpha \;\Leftrightarrow\; n \ge \dfrac{\ln(1-\alpha)}{\ln q} $

Испытания Бернулли в электронной таблице

ФАКТР(N) — факториал; ЧИСЛКОМБ(N; k) — $ C_N^k $; БИНОМРАСП(k; N; p; 0) — $ P_N(k) $, БИНОМРАСП(k; N; p; 1) — $ P_N(0) + \ldots + P_N(k) $. Одно испытание Бернулли моделируют формулой =ЕСЛИ(СЛЧИС()<$D$2;1;0), где в D2 записана вероятность успеха (абсолютная ссылка не сдвигается при копировании); число успехов в серии считает СЧЁТЕСЛИ(); клавиша F9 разыгрывает новую серию.

Другие упражнения из параграфа § 14

258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269^* 270^* 271^* 272^* 273^* 274^* 275^* 276^* 277^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6. Испытания Бернулли. Случайный выбор
Параграф: § 14 — Испытания до первого успеха
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.