ГДЗ: Упражнение 271 - Параграф § 14 (Испытания до первого успеха) - (Вероятность и статистика 10 класс, Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович)

271 упражнение: ^*

Процент всхожести семян редкого сорта цветов составляет 0,2. Сколько семян нужно посадить, чтобы с вероятностью 0,99 взошёл хотя бы 1 цветок? хотя бы 2 цветка?

Найдите число семян в обоих случаях.

Ответ

$ p = 0{,}2 $, $ q = 0{,}8 $.

Хотя бы один. $ 1 - 0{,}8^n \ge 0{,}99 $, $ 0{,}8^n \le 0{,}01 $: $ 0{,}8^{20} \approx 0{,}0115 $, $ 0{,}8^{21} \approx 0{,}0092 $ — 21 семя.

Хотя бы два. Противоположное событие — взошло 0 или 1: $ 0{,}8^n + n \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{n-1} \le 0{,}01 $. Перебираем: при $ n = 30 $: $ 0{,}00124 + 30 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}00155 = 0{,}00124 + 0{,}00928 = 0{,}0105 > 0{,}01 $; при $ n = 31 $: $ 0{,}00099 + 31 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}00124 = 0{,}00099 + 0{,}00767 = 0{,}0087 \le 0{,}01 $ — 31 семя.

Ответ: 21; 31.

Что применять при решении

Вероятность первого успеха на k-м шаге

Испытания Бернулли проводятся до появления первого успеха; фиксированного числа испытаний нет, исходы — последовательности 1, 01, 001, 0001, … (их бесконечно много). Первый успех на первом шаге — вероятность $ p $; на втором — $ qp $ (неудача, затем успех); на третьем — $ q^2 p $ и т. д. Числа $ P(k) $ образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом $ p $ и знаменателем $ q < 1 $. Для монеты $ P(k) = (1/2)^k $: 0,5; 0,25; 0,125; …; для кубика (успех — шестёрка) $ P(k) = 5^{k-1}/6^k $: 0,167; 0,139; 0,116; …

$ P(k) = q^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots $

Сумма вероятностей и «успех обязательно наступит»

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $ p + qp + q^2 p + \ldots = \dfrac{p}{1-q} = 1 $. Значит, первый успех обязательно наступит на каком-то шаге — ждать его бесконечно долго не придётся (вероятность «успех никогда не наступит» равна 0). Для вычисления вероятностей событий приходится складывать бесконечное число слагаемых — сумму геометрической прогрессии.

$ \sum_{k=1}^{\infty} q^{k-1} p = 1 $

Типовые события и их вероятности

«Понадобится больше $ n $ попыток» — первые $ n $ испытаний неудачны: $ q^n $ (это же — сумма $ q^n p + q^{n+1} p + \ldots $). «Не больше $ n $ попыток» — $ p + qp + \ldots + q^{n-1} p = 1 - q^n $. Игра «кто первым выбросит орла»: первый игрок выигрывает при успехе в нечётном испытании — $ p + q^2 p + q^4 p + \ldots = \dfrac{p}{1 - q^2} = \dfrac{1}{1+q} $, второй — $ \dfrac{q}{1+q} $; для монеты $ \frac23 $ и $ \frac13 $: игра несправедлива, ничьих не бывает.

$ P(\text{первый успех позже } n\text{-го шага}) = q^n, \qquad P(\text{не позже } n\text{-го}) = 1 - q^n $

Обратная задача: сколько испытаний провести

Чтобы успех наступил с вероятностью не меньше заданной $ \alpha $, нужно наименьшее $ n $, при котором $ 1 - q^n \ge \alpha $, то есть $ q^n \le 1 - \alpha $. Значение $ n $ находят перебором степеней $ q $ (или логарифмированием). Пример: тест обнаруживает ошибку с вероятностью 0,2; для выявления ошибки с вероятностью больше 0,99 нужен 21 тест ($ 0{,}8^{20} > 0{,}011 $, $ 0{,}8^{21} < 0{,}0093 $).

$ q^n \le 1 - \alpha \;\Leftrightarrow\; n \ge \dfrac{\ln(1-\alpha)}{\ln q} $

Испытания Бернулли в электронной таблице

ФАКТР(N) — факториал; ЧИСЛКОМБ(N; k) — $ C_N^k $; БИНОМРАСП(k; N; p; 0) — $ P_N(k) $, БИНОМРАСП(k; N; p; 1) — $ P_N(0) + \ldots + P_N(k) $. Одно испытание Бернулли моделируют формулой =ЕСЛИ(СЛЧИС()<$D$2;1;0), где в D2 записана вероятность успеха (абсолютная ссылка не сдвигается при копировании); число успехов в серии считает СЧЁТЕСЛИ(); клавиша F9 разыгрывает новую серию.

Другие упражнения из параграфа § 14

258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269^* 270^* 271^* 272^* 273^* 274^* 275^* 276^* 277^*

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 6. Испытания Бернулли. Случайный выбор
Параграф: § 14 — Испытания до первого успеха
Учебник: Вероятность и статистика 10 класс — Математика. Базовый уровень
Автор: Бунимович Евгений Абрамович, Булычев Владимир Александрович
Год: 2023

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.