Назовём знающих «З», остальных «Н». Число знающих на следующий день равно \( 10 + m \), где \( m \) — число смешанных номеров (З + Н). Всего расселений — разбиений 20 человек на 10 пар: \( \dfrac{20!}{2^{10} \cdot 10!} = 654\,729\,075 \).
а) Все 20 узнают, если все 10 номеров смешанные — это задача 301: \( P = \dfrac{256}{46\,189} \approx 0{,}0055 \).
б) Ровно 13 означало бы \( m = 3 \). Но незнающие, не попавшие в смешанные номера, живут парами друг с другом, поэтому \( 10 - m \) должно быть чётным, то есть \( m \) чётно. \( P = 0 \).
в) Ровно 12: \( m = 2 \). Выбираем двух знающих и двух незнающих для смешанных номеров (\( C_{10}^2 \cdot C_{10}^2 = 45 \cdot 45 \)), соединяем их в пары двумя способами; оставшихся 8 знающих разбиваем на пары \( \dfrac{8!}{2^4 \cdot 4!} = 105 \) способами, 8 незнающих — тоже 105. Благоприятных расселений \( 45 \cdot 45 \cdot 2 \cdot 105 \cdot 105 = 44\,651\,250 \). \( P = \dfrac{44\,651\,250}{654\,729\,075} = \dfrac{3150}{46\,189} \approx 0{,}068 \).
Ответ: а) \( \dfrac{256}{46\,189} \approx 0{,}0055 \); б) 0; в) \( \dfrac{3150}{46\,189} \approx 0{,}068 \).