Случайный выбор без возвращения
Из ящика с \( n \) неразличимыми на ощупь предметами \( k \) раз (\( k \le n \)) наугад вынимают по одному предмету, не возвращая его обратно. Элементарные исходы — размещения из \( n \) по \( k \), всего \( A_n^k \). Такой выбор не является испытаниями Бернулли (условия меняются), но вероятности считают по правилу умножения с условными вероятностями: 4 пирожка с капустой из 5 + 5 — \( \frac{5}{10} \cdot \frac49 \cdot \frac38 \cdot \frac27 = \frac{1}{42} \). Ровно \( k \) «успехов» в \( m \) извлечениях: произведение условных вероятностей для одной последовательности умножают на \( C_m^k \) (число способов расставить успехи) — частая ошибка забыть этот множитель.
\( P(\text{2 с капустой из 4}) = C_4^2 \cdot \dfrac{5}{10} \cdot \dfrac49 \cdot \dfrac58 \cdot \dfrac47 = \dfrac{10}{21} \)
Одновременный случайный выбор
Из ящика с \( n \) предметами наугад вынимают сразу \( k \) предметов; элементарные исходы — сочетания из \( n \) по \( k \), всего \( C_n^k \). Выбор без возвращения всегда можно заменить одновременным, если событие не связано с порядком извлечения. Благоприятные исходы считают перемножением чисел сочетаний по группам: 3 мальчика из 10 и 3 девочки из 15 — \( C_{10}^3 C_{15}^3 \) из \( C_{25}^6 \), \( P \approx 0{,}308 \). Иногда проще рассуждать через отдельные предметы: песня попадёт в первую пятёрку из 10 с вероятностью \( \frac{5}{10} \), две песни — \( \frac{5}{10} \cdot \frac49 = \frac29 \).
\( P(A) = \dfrac{C_{n_1}^{k_1} C_{n_2}^{k_2}}{C_n^k} \)
Случайный выбор с возвращением
Вынутый предмет возвращают в ящик перед следующим извлечением; состав ящика не меняется, вероятность успеха постоянна, испытания независимы — это испытания Бернулли, и работает формула Бернулли (щуки-долгожительницы: \( P_3(3) = (3/25)^3 \approx 0{,}00173 \)). Ограничение \( k \le n \) снимается. В социологии выборка без возвращения называется бесповторной, с возвращением — повторной; если генеральная совокупность очень велика, различие стирается и бесповторную выборку считают повторной (35 % работающих с высшим образованием, выборка из 100 человек).
\( P_k(m) = C_k^m p^m q^{k-m}, \quad p = \dfrac{\text{число «успешных» предметов}}{n} \)
Парадокс дней рождения
В классе из 25 человек хотя бы двое празднуют день рождения в один день с вероятностью \( 1 - \dfrac{365 \cdot 364 \cdot \ldots \cdot 341}{365^{25}} \approx 1 - 0{,}4313 = 0{,}5867 > 0{,}5 \). Людей немного, а вероятность совпадения больше половины: для конкретной пары она мала (\( \frac{1}{365} \)), но пар в классе 300. Уже для 23 человек вероятность превышает 0,5, для 41 — 0,9, для 57 — 0,99; при 366 людях совпадение гарантировано.
\( P(\text{совпадение}) = 1 - \dfrac{A_{365}^n}{365^n} \)
Комбинаторика перестановок
Если исходы опыта — перестановки \( n \) объектов (очередь, письма по конвертам, режим shuffle), всего исходов \( n! \). Перестановки с повторениями: одинаковые элементы можно менять местами, слово не меняется, поэтому число различных слов равно \( \dfrac{n!}{k_1!\,k_2! \ldots} \) (МАТЕМАТИКА — \( 10!/(3!\,2!\,2!) = 151\,200 \)), а вероятность получить заданное слово при случайной раскладке карточек равна \( \dfrac{k_1!\,k_2! \ldots}{n!} \). Беспорядок — перестановка, в которой ни один элемент не стоит на своём месте; их число — субфакториал \( !n \); \( !3 = 2 \), \( !4 = 9 \), отношение \( !n/n! \) стремится к \( 1/e \approx 0{,}368 \). Равновозможными бывают не только исходы, но и события: порядок трёх заданных артистов среди \( n \) — любой из 6 с вероятностью \( \frac16 \).
\( !n = n! - \dfrac{n!}{1!} + \dfrac{n!}{2!} - \dfrac{n!}{3!} + \ldots + (-1)^n \dfrac{n!}{n!} \)
