ГДЗ: Упражнение 1025 - § 59 (Применение производной и интеграла к решению практических задач) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Использование формулы пути.

Путь \( S \), пройденный телом за промежуток времени от \( t_1 \) до \( t_2 \), определяется формулой определённого интеграла от скорости:

\( S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \,dt \)

В данном случае \( v(t) = 3t^2 + 1 \), \( t_1 = 0 \), \( t_2 = 4 \).

\( S = \int_{0}^{4} (3t^2 + 1) \,dt \)

Шаг 2. Вычисление неопределённого интеграла (первообразной).

Найдём первообразную \( F(t) \) для функции \( v(t) = 3t^2 + 1 \):

\( F(t) = \int (3t^2 + 1) \,dt = 3 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + t + C = 3 \cdot \frac{t^3}{3} + t + C = t^3 + t + C \)

Для определённого интеграла константу \( C \) можно опустить.

Шаг 3. Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( S = F(t)\big|_0^4 = F(4) - F(0) \)

• Вычисляем \( F(4) \): \( F(4) = 4^3 + 4 = 64 + 4 = 68 \)
• Вычисляем \( F(0) \): \( F(0) = 0^3 + 0 = 0 \)

\( S = 68 - 0 = 68 \) (м)

Ответ: 68 м.

Шаг 1. Использование формулы пути.

Путь \( S \), пройденный телом за промежуток времени от \( t_1 = 1 \) до \( t_2 = 3 \), определяется интегралом:

\( S = \int_{1}^{3} (2t^2 + t) \,dt \)

Шаг 2. Вычисление неопределённого интеграла (первообразной).

Найдём первообразную \( F(t) \) для функции \( v(t) = 2t^2 + t \):

\( F(t) = \int (2t^2 + t) \,dt = 2 \cdot \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} \)

Шаг 3. Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( S = F(t)\big|_1^3 = F(3) - F(1) \)

• Вычисляем \( F(3) \): \( F(3) = 2 \cdot \frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} = 2 \cdot 9 + \frac{9}{2} = 18 + 4.5 = 22.5 \)
• Вычисляем \( F(1) \): \( F(1) = 2 \cdot \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6} \)

Вычисляем разность:

\( S = 22.5 - \frac{7}{6} = \frac{45}{2} - \frac{7}{6} = \frac{45 \cdot 3}{6} - \frac{7}{6} = \frac{135 - 7}{6} = \frac{128}{6} = \frac{64}{3} \)

\( S = 21\frac{1}{3} \) (м)

Ответ: \( 21\frac{1}{3} \) м.