Шаг 1. Нахождение первой производной \( y' \).
Дана функция \( y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x \). Найдём её производную по \( x \) (используя правило производной сложной функции \( (\cos(ax))' = -a \sin(ax) \) и \( (\sin(ax))' = a \cos(ax) \) ):
\( y' = (C_1 \cos \omega x)' + (C_2 \sin \omega x)' \)
\( y' = C_1 \cdot (-\omega \sin \omega x) + C_2 \cdot (\omega \cos \omega x) \)
\( y' = -\omega C_1 \sin \omega x + \omega C_2 \cos \omega x \)
Шаг 2. Нахождение второй производной \( y'' \).
Найдём производную от \( y' \):
\( y'' = (-\omega C_1 \sin \omega x)' + (\omega C_2 \cos \omega x)' \)
\( y'' = -\omega C_1 \cdot (\omega \cos \omega x) + \omega C_2 \cdot (-\omega \sin \omega x) \)
\( y'' = -\omega^2 C_1 \cos \omega x - \omega^2 C_2 \sin \omega x \)
Вынесем \( -\omega^2 \) за скобки:
\( y'' = -\omega^2 (C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x) \)
Шаг 3. Подстановка в дифференциальное уравнение.
Подставим \( y \) и \( y'' \) в уравнение \( y'' + \omega^2 y = 0 \):
\( y'' + \omega^2 y = [- \omega^2 (C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x)] + \omega^2 (C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x) \)
\( y'' + \omega^2 y = -\omega^2 (C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x) + \omega^2 (C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x) \)
\( y'' + \omega^2 y = 0 \)
Полученное равенство \( 0 = 0 \) справедливо, что доказывает, что функция \( y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x \) является решением данного дифференциального уравнения.
Ответ: Показано, что подстановка функции \( y \) и её второй производной \( y'' \) в уравнение \( y'' + \omega^2 y = 0 \) приводит к тождеству \( 0 = 0 \).