ГДЗ: Упражнение 1028 - § 59 (Применение производной и интеграла к решению практических задач) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Нахождение общего решения.

Общее решение уравнения \( y' = \sin x \) находится интегрированием:

\( y = \int \sin x \,dx = -\cos x + C \)

Шаг 2. Использование начального условия.

Используем условие \( y(0) = 0 \) для нахождения константы \( C \). Подставим \( x = 0 \) и \( y = 0 \) в общее решение:

\( 0 = -\cos(0) + C \)

\( 0 = -1 + C \)

\( C = 1 \)

Шаг 3. Запись частного решения.

Подставим найденное значение \( C = 1 \) в общее решение:

\( y = -\cos x + 1 \) или \( y = 1 - \cos x \)

Ответ: \( y = 1 - \cos x \).

Шаг 1. Нахождение общего решения.

Общее решение уравнения \( y' = 2 \cos x \) находится интегрированием:

\( y = \int 2 \cos x \,dx = 2 \sin x + C \)

Шаг 2. Использование начального условия.

Используем условие \( y(\pi) = 1 \) для нахождения константы \( C \). Подставим \( x = \pi \) и \( y = 1 \) в общее решение:

\( 1 = 2 \sin(\pi) + C \)

Так как \( \sin(\pi) = 0 \):

\( 1 = 2 \cdot 0 + C \)

\( C = 1 \)

Шаг 3. Запись частного решения.

Подставим найденное значение \( C = 1 \) в общее решение:

\( y = 2 \sin x + 1 \)

Ответ: \( y = 2 \sin x + 1 \).

Шаг 1. Нахождение общего решения.

Общее решение уравнения \( y' = 3x^2 + 4x - 1 \) находится интегрированием:

\( y = \int (3x^2 + 4x - 1) \,dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C \)

\( y = x^3 + 2x^2 - x + C \)

Шаг 2. Использование начального условия.

Используем условие \( y(1) = -2 \). Подставим \( x = 1 \) и \( y = -2 \) в общее решение:

\( -2 = 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 + C \)

\( -2 = 1 + 2 - 1 + C \)

\( -2 = 2 + C \)

\( C = -4 \)

Шаг 3. Запись частного решения.

Подставим найденное значение \( C = -4 \) в общее решение:

\( y = x^3 + 2x^2 - x - 4 \)

Ответ: \( y = x^3 + 2x^2 - x - 4 \).

Шаг 1. Нахождение общего решения.

Общее решение уравнения \( y' = 2 + 2x - 3x^2 \) находится интегрированием:

\( y = \int (2 + 2x - 3x^2) \,dx = 2x + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C \)

\( y = 2x + x^2 - x^3 + C \)

Шаг 2. Использование начального условия.

Используем условие \( y(-1) = -2 \). Подставим \( x = -1 \) и \( y = -2 \) в общее решение:

\( -2 = 2(-1) + (-1)^2 - (-1)^3 + C \)

\( -2 = -2 + 1 - (-1) + C \)

\( -2 = -2 + 1 + 1 + C \)

\( -2 = 0 + C \)

\( C = -2 \)

Шаг 3. Запись частного решения.

Подставим найденное значение \( C = -2 \) в общее решение:

\( y = 2x + x^2 - x^3 - 2 \)

Ответ: \( y = 2x + x^2 - x^3 - 2 \).

Шаг 1. Нахождение общего решения.

Общее решение уравнения \( y' = e^x \) находится интегрированием:

\( y = \int e^x \,dx = e^x + C \)

Шаг 2. Использование начального условия.

Используем условие \( y(1) = 1 \). Подставим \( x = 1 \) и \( y = 1 \) в общее решение:

\( 1 = e^1 + C \)

\( C = 1 - e \)

Шаг 3. Запись частного решения.

Подставим найденное значение \( C = 1 - e \) в общее решение:

\( y = e^x + 1 - e \)

Ответ: \( y = e^x + 1 - e \).

Шаг 1. Нахождение общего решения.

Общее решение уравнения \( y' = e^{-x} \) находится интегрированием:

\( y = \int e^{-x} \,dx = -e^{-x} + C \)

Шаг 2. Использование начального условия.

Используем условие \( y(0) = 2 \). Подставим \( x = 0 \) и \( y = 2 \) в общее решение:

\( 2 = -e^{-0} + C \)

\( 2 = -e^0 + C \)

\( 2 = -1 + C \)

\( C = 3 \)

Шаг 3. Запись частного решения.

Подставим найденное значение \( C = 3 \) в общее решение:

\( y = -e^{-x} + 3 \) или \( y = 3 - e^{-x} \)

Ответ: \( y = 3 - e^{-x} \).