ГДЗ: Упражнение 1192 - Параграф § 71 (Случайные величины) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

1192 упражнение:

Значения роста \( H \) у 100 жителей дома (в сантиметрах) попадают в промежуток \([50; 190]\). Распределение значений непрерывной случайной величины \( H \) отражено в частотной таблице:<br><table><thead><tr><th>\( H \)</th><th>\([50; 70]\)</th><th>\([70; 90]\)</th><th>\([90; 110]\)</th><th>\([110; 130]\)</th><th>\([130; 150]\)</th><th>\([150; 170]\)</th><th>\([170; 190]\)</th></tr></thead><tbody><tr><td>\( M \)</td><td>5</td><td>8</td><td>10</td><td>12</td><td>15</td><td>30</td><td>20</td></tr></tbody></table>Проиллюстрировать распределение этих данных с помощью гистограммы относительных частот.

1)

Ответ

Пояснение: Объем выборки \( N=100 \). Для гистограммы относительных частот высота \( h_i \) каждого прямоугольника равна частному от деления относительной частоты \( W_i \) на длину интервала \( \Delta H_i \). Все интервалы имеют одинаковую длину: \( \Delta H = 190 - 170 = \dots = 20 \) см. Относительная частота \( W_i = M_i / N = M_i / 100 \).

Длина интервала: \( \Delta H_i = 20 \) для всех \( i \).
Относительная частота \( W_i = M_i / 100 \):
\( [50; 70] \): \( W_1 = 5/100 = 0.05 \).
\( [70; 90] \): \( W_2 = 8/100 = 0.08 \).
\( [90; 110] \): \( W_3 = 10/100 = 0.10 \).
\( [110; 130] \): \( W_4 = 12/100 = 0.12 \).
\( [130; 150] \): \( W_5 = 15/100 = 0.15 \).
\( [150; 170] \): \( W_6 = 30/100 = 0.30 \).
\( [170; 190] \): \( W_7 = 20/100 = 0.20 \).
Проверка: \( \sum W_i = 0.05 + 0.08 + 0.10 + 0.12 + 0.15 + 0.30 + 0.20 = 1.00 \).
Высота \( h_i = W_i / \Delta H_i = W_i / 20 \):
\( [50; 70] \): \( h_1 = 0.05 / 20 = 0.0025 \).
\( [150; 170] \): \( h_6 = 0.30 / 20 = 0.015 \).
Построение гистограммы: На оси абсцисс откладываются интервалы. Над каждым интервалом строится прямоугольник, высота которого равна соответствующей величине \( h_i \). Наибольшая высота (0.015) соответствует интервалу \( [150; 170] \).

Ответ: Гистограмма относительных частот состоит из семи прямоугольников, построенных на интервалах \( [50; 70], \dots, [170; 190] \), площадь каждого из которых равна соответствующей относительной частоте \( W_i \).

Что применять при решении

Случайная величина

Величина, значение которой зависит от случайного исхода наблюдения или испытания. Случайные величины бывают дискретными (принимают отдельные значения) и непрерывными (принимают значения из некоторого интервала).

Таблица распределения вероятностей

Таблица, которая показывает все возможные значения случайной величины \( X \) и соответствующие им вероятности \( P \). Сумма всех вероятностей должна быть равна 1: \( \sum P_i = 1 \).

\( P_i = m_i / N \)

Частота и относительная частота

Частота \( M \) (абсолютная частота) — это число, показывающее, сколько раз встречается данное значение \( x_i \) в выборке. Относительная частота \( W \) — отношение частоты \( M_i \) к общему объему выборки \( N \).

\( W_i = M_i / N \)

Полигон частот

Графическое представление распределения частот дискретной случайной величины в виде ломаной линии, соединяющей точки с координатами \((x_i, M_i)\). Полигон относительных частот соединяет точки \((x_i, W_i)\).

Гистограмма

Графическое представление интервального ряда распределения в виде ступенчатой фигуры (столбчатой диаграммы). Для гистограммы относительных частот площадь каждого прямоугольника равна относительной частоте \( W_i \), а высота \( h_i \) вычисляется как отношение относительной частоты к длине интервала \( \Delta x_i \).

\( h_i = W_i / \Delta x_i \)

Другие упражнения из параграфа § 71

1184 1185 1186 1187 1188 1189 1190 1191 1192

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 13
Параграф: § 71 — Случайные величины
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.