ГДЗ: Упражнение 151 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Шаг 1: Возведем обе части уравнения в квадрат. Обе части уравнения \( \sqrt{x} = 2 \) неотрицательны, поэтому возведение в квадрат дает равносильное уравнение: \( (\sqrt{x})^2 = 2^2 \), что равносильно \( x = 4 \).
Шаг 2 (Проверка): Подставим \( x=4 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{4} = 2 \). Получаем \( 2 = 2 \), что является верным равенством.
Ответ: \( 4 \)
2)
\( \sqrt{x} = 7 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x})^2 = 7^2 \), что равносильно \( x = 49 \).
Шаг 2 (Проверка): Подставим \( x=49 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{49} = 7 \). Получаем \( 7 = 7 \), что является верным равенством.
Ответ: \( 49 \)
3)
\( \sqrt[3]{x} = 2 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Возведем обе части уравнения в куб: \( (\sqrt[3]{x})^3 = 2^3 \), что равносильно \( x = 8 \).
Шаг 2 (Проверка): Подставим \( x=8 \) в исходное уравнение: \( \sqrt[3]{8} = 2 \). Получаем \( 2 = 2 \), что является верным равенством. Так как степень нечетная, посторонних корней не возникает.
Ответ: \( 8 \)
4)
\( \sqrt[3]{x} = -3 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Возведем обе части уравнения в куб: \( (\sqrt[3]{x})^3 = (-3)^3 \), что равносильно \( x = -27 \).
Шаг 2 (Проверка): Подставим \( x=-27 \) в исходное уравнение: \( \sqrt[3]{-27} = -3 \). Получаем \( -3 = -3 \), что является верным равенством.
Ответ: \( -27 \)
5)
\( \sqrt{1-3x} = 0 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{1-3x})^2 = 0^2 \), что дает \( 1-3x = 0 \).
Шаг 2: Решаем линейное уравнение: \( 3x = 1 \), откуда \( x = \frac{1}{3} \).
Шаг 3 (Проверка): Подставим \( x = \frac{1}{3} \) в исходное уравнение: \( \sqrt{1-3 \cdot \frac{1}{3}} = \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0 \). Получаем \( 0 = 0 \), что является верным равенством.
Ответ: \( \frac{1}{3} \)
6)
\( \sqrt[4]{x} = 1 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Возведем обе части уравнения в степень 4: \( (\sqrt[4]{x})^4 = 1^4 \), что равносильно \( x = 1 \).
Шаг 2 (Проверка): Подставим \( x=1 \) в исходное уравнение: \( \sqrt[4]{1} = 1 \). Получаем \( 1 = 1 \), что является верным равенством.
Ответ: \( 1 \)
7)
\( \sqrt{2-x} = 0 \)
Ответ
Решение:
Шаг 1: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{2-x})^2 = 0^2 \), что дает \( 2-x = 0 \).
Шаг 2: Решаем линейное уравнение: \( x = 2 \).
Шаг 3 (Проверка): Подставим \( x = 2 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0 \). Получаем \( 0 = 0 \), что является верным равенством.
Ответ: \( 2 \)
Что применять при решении
Определение иррационального уравнения
Уравнения, в которых неизвестное находится под знаком корня, называются иррациональными уравнениями.
При возведении обеих частей уравнения \( f(x) = g(x) \) в натуральную степень \( n \) получается уравнение \( (f(x))^n = (g(x))^n \), которое является следствием данного уравнения.
Из \( f(x) = g(x) \) следует \( (f(x))^n = (g(x))^n \), где \( n \in \mathbb{N} \).
Посторонние корни и проверка
При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, особенно при возведении в четную степень. Поэтому проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение обязательна.
Для уравнения \( \sqrt{6-x} = x \), возведение в квадрат дает \( 6-x = x^2 \), которое имеет корни \( x_1=2 \) и \( x_2=-3 \). Корень \( x_2=-3 \) является посторонним.
Условие равносильности
Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) неотрицательны на множестве X, то уравнение \( f(x) = g(x) \) равносильно уравнению \( (f(x))^n = (g(x))^n \) при \( n \in \mathbb{N} \).
Если \( f(x) \ge 0 \) и \( g(x) \ge 0 \), то \( \sqrt{f(x)} = g(x) \) равносильно системе \( \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
