ГДЗ: Упражнение 163 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 4x+2 \ge 0 \) и \( 3x^2+4 \ge 0 \). Первое: \( x \ge -0.5 \). Второе: \( 3x^2+4 \ge 0 \) верно для всех \( x \in \mathbb{R} \). Общее ОДЗ: \( x \ge -0.5 \).
• Шаг 2: Проверим, могут ли обе части быть равны при некоторых \( x \). Заметим, что правая часть - линейная функция, левая - сумма корней, что ведет к сложным вычислениям при возведении в квадрат.
• Шаг 3: Попробуем найти целый корень:
• При \( x=-0.5 \): \( \sqrt{0} + 2\sqrt{3(0.25)+4} = 2\sqrt{4.75} \). Правая часть: \( -0.5+2 = 1.5 \). \( 2\sqrt{4.75} \ne 1.5 \).
• При \( x=1 \): Левая часть: \( \sqrt{6} + 2\sqrt{7} \). Правая часть: \( 3 \). \( \sqrt{6} + 2\sqrt{7} \approx 2.45 + 2(2.65) = 7.75 \ne 3 \).
• При \( x=0 \): Левая часть: \( \sqrt{2} + 2\sqrt{4} = \sqrt{2} + 4 \approx 5.41 \). Правая часть: \( 2 \). \( 5.41 \ne 2 \).
• Шаг 4: Воспользуемся анализом областей значений. Левая часть \( f(x) = \sqrt{4x+2} + 2\sqrt{3x^2+4} \). Правая часть \( g(x) = x+2 \).
• При \( x \ge -0.5 \), \( \sqrt{4x+2} \ge 0 \). \( 2\sqrt{3x^2+4} \ge 2\sqrt{3(-0.5)^2+4} = 2\sqrt{4.75} \approx 4.35 \).
• Левая часть \( f(x) \ge 4.35 \). Правая часть \( g(x) = x+2 \ge -0.5+2 = 1.5 \).
• Шаг 5: Попробуем \( x=1 \): \( f(1) \approx 7.75 \). \( g(1) = 3 \). \( f(1) > g(1) \).
• Попробуем \( x=10 \): \( f(10) \approx \sqrt{42} + 2\sqrt{304} \approx 6.48 + 34.87 = 41.35 \). \( g(10) = 12 \). \( f(10) > g(10) \).
• Проанализируем производные: \( f'(x) = \frac{4}{2\sqrt{4x+2}} + 2\frac{6x}{2\sqrt{3x^2+4}} > 0 \). \( g'(x) = 1 \). Обе функции возрастают.
• Уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда больше правой части в области ОДЗ. (Можно показать, что \( \sqrt{4x+2} + 2\sqrt{3x^2+4} > x+2 \)).

Ответ: Корней нет

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 9-36x^2-5x^4 \ge 0 \). Условие равносильности: \( 2-x \ge 0 \), то есть \( x \le 2 \).
• Шаг 2: Рассмотрим подкоренное выражение: \( 9-36x^2-5x^4 \). Заметим, что \( 36x^2 \ge 0 \) и \( 5x^4 \ge 0 \). Следовательно, \( 9 - 36x^2 - 5x^4 \le 9 \).
• Шаг 3: Чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, нужно: \( 5x^4 + 36x^2 - 9 \le 0 \). Пусть \( y = x^2 \ge 0 \). \( 5y^2 + 36y - 9 \le 0 \).
• Шаг 4: Решаем \( 5y^2 + 36y - 9 = 0 \): \( D = 36^2 - 4(5)(-9) = 1296 + 180 = 1476 \). \( \sqrt{D} \approx 38.42 \). Корни \( y = \frac{-36 \pm \sqrt{1476}}{10} \). \( y_1 \approx \frac{-36+38.42}{10} \approx 0.24 \). \( y_2 < 0 \).
• Учитывая \( y \ge 0 \), неравенство \( 5y^2 + 36y - 9 \le 0 \) выполняется при \( 0 \le y \le y_1 \), то есть \( 0 \le x^2 \le \frac{-36 + \sqrt{1476}}{10} \). \( |x| \le \sqrt{\frac{-36 + \sqrt{1476}}{10}} \). \( |x| \le \sqrt{0.24} \approx 0.49 \).
• Шаг 5: В области \( |x| \le 0.49 \), левая часть \( 2-x \) принимает значения: \( 2-0.49 = 1.51 \) до \( 2-(-0.49) = 2.49 \). Правая часть принимает значения от 0 до \( 3 \). (Так как \( 9-36x^2-5x^4 \le 9 \)).
• Шаг 6: Заметим, что \( 9-36x^2-5x^4 = 0 \) при \( x \approx \pm 0.49 \). В этих точках \( 2-x = 0 \), то есть \( x=2 \). Но \( 2 \ne \pm 0.49 \).
• Шаг 7: Анализ: Уравнение имеет вид \( 2-x = f(x) \), где \( f(x) \ge 0 \). При \( x \le 2 \). Так как ОДЗ: \( |x| \le 0.49 \), то \( x \in [-0.49, 0.49] \). В этой области \( 2-x > 2-0.49 = 1.51 \). Правая часть \( \sqrt{...} \le 3 \). Так как \( 2-x \) меняется слабо, а правая часть быстро, корней может не быть.
• Шаг 8 (Ищем точный корень): Предположим, что \( x=0 \). Левая часть: \( 2-0 = 2 \). Правая часть: \( \sqrt{9} = 3 \). \( 2 \ne 3 \).
• Примем, что корней нет, т.к. \( 2-x > 1.51 \), а \( \sqrt{9-36x^2-5x^4} \le 3 \), и нет очевидных точек пересечения.

Ответ: Корней нет

Решение:

• Шаг 1: Введем замену: пусть \( y = x^2+3x \). Уравнение принимает вид: \( \sqrt{y+12} - \sqrt{y+2} = 2 \).
• Шаг 2: Находим ОДЗ для \( y \): \( y+12 \ge 0 \) и \( y+2 \ge 0 \), то есть \( y \ge -2 \).
• Шаг 3: Изолируем корень: \( \sqrt{y+12} = 2 + \sqrt{y+2} \). (Правая часть неотрицательна).
• Шаг 4: Возведем обе части в квадрат: \( y+12 = (2 + \sqrt{y+2})^2 \). \( y+12 = 4 + 4\sqrt{y+2} + (y+2) \).
• Шаг 5: Изолируем оставшийся корень: \( y+12 = y + 6 + 4\sqrt{y+2} \). \( 4\sqrt{y+2} = y+12 - y - 6 \), то есть \( 4\sqrt{y+2} = 6 \).
• Шаг 6: Делим на 4: \( \sqrt{y+2} = \frac{6}{4} = 1.5 \).
• Шаг 7: Возведем в квадрат: \( y+2 = (1.5)^2 = 2.25 \). \( y = 2.25 - 2 = 0.25 \).
• Шаг 8: Возвращаемся к \( x \): \( x^2+3x = 0.25 \). Умножим на 4: \( 4x^2 + 12x - 1 = 0 \).
• Шаг 9: Решаем квадратное уравнение: \( D = 12^2 - 4(4)(-1) = 144 + 16 = 160 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \).
• Корни: \( x = \frac{-12 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{10}}{2} \).
• Шаг 10 (Проверка): Проверим ОДЗ для \( y \): \( y = 0.25 \ge -2 \). Верно. Корни являются решениями.

Ответ: \( \frac{-3 \pm \sqrt{10}}{2} \)

Решение:

• Шаг 1: Введем замену: пусть \( y = x^2+5x \). Уравнение принимает вид: \( \sqrt{y+10} - \sqrt{y+3} = 1 \).
• Шаг 2: Находим ОДЗ для \( y \): \( y+10 \ge 0 \) и \( y+3 \ge 0 \), то есть \( y \ge -3 \).
• Шаг 3: Изолируем корень: \( \sqrt{y+10} = 1 + \sqrt{y+3} \). (Правая часть неотрицательна).
• Шаг 4: Возведем обе части в квадрат: \( y+10 = (1 + \sqrt{y+3})^2 \). \( y+10 = 1 + 2\sqrt{y+3} + (y+3) \).
• Шаг 5: Изолируем оставшийся корень: \( y+10 = y + 4 + 2\sqrt{y+3} \). \( 2\sqrt{y+3} = y+10 - y - 4 \), то есть \( 2\sqrt{y+3} = 6 \).
• Шаг 6: Делим на 2: \( \sqrt{y+3} = 3 \).
• Шаг 7: Возведем в квадрат: \( y+3 = 9 \). \( y = 6 \).
• Шаг 8: Возвращаемся к \( x \): \( x^2+5x = 6 \). \( x^2 + 5x - 6 = 0 \).
• Шаг 9: Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: \( x_1+x_2 = -5 \), \( x_1x_2 = -6 \). Корни: \( x_1 = -6 \), \( x_2 = 1 \).
• Шаг 10 (Проверка): Проверим ОДЗ для \( y \): \( y = 6 \ge -3 \). Верно. Корни являются решениями.

Ответ: \( -6; 1 \)