ГДЗ: Упражнение 153 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Возведем обе части уравнения в куб: \( (\sqrt[3]{2x+3})^3 = 1^3 \), что дает \( 2x+3 = 1 \). (При нечетной степени посторонние корни не возникают).
• Шаг 2: Решаем линейное уравнение: \( 2x = 1 - 3 \), \( 2x = -2 \), откуда \( x = -1 \).
• Шаг 3 (Проверка): Подставим \( x=-1 \) в исходное уравнение: \( \sqrt[3]{2(-1)+3} = \sqrt[3]{-2+3} = \sqrt[3]{1} = 1 \). Получаем \( 1 = 1 \).

Ответ: \( -1 \)

Решение:

• Шаг 1: Возведем обе части уравнения в куб: \( (\sqrt[3]{1-x})^3 = 2^3 \), что дает \( 1-x = 8 \).
• Шаг 2: Решаем линейное уравнение: \( -x = 8 - 1 \), \( -x = 7 \), откуда \( x = -7 \).
• Шаг 3 (Проверка): Подставим \( x=-7 \) в исходное уравнение: \( \sqrt[3]{1-(-7)} = \sqrt[3]{8} = 2 \). Получаем \( 2 = 2 \).

Ответ: \( -7 \)

Решение:

• Шаг 1: Перепишем уравнение, используя свойства корней: \( 3\sqrt[3]{x^2} = \sqrt[3]{8}\sqrt[3]{x} \), что равносильно \( 3\sqrt[3]{x^2} = 2\sqrt[3]{x} \).
• Шаг 2: Перенесем все члены в левую часть: \( 3\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} = 0 \).
• Шаг 3: Вынесем общий множитель \( \sqrt[3]{x} \): \( \sqrt[3]{x} (3\sqrt[3]{x} - 2) = 0 \).
• Шаг 4: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• Случай 1: \( \sqrt[3]{x} = 0 \). Возводим в куб: \( x = 0 \).
• Случай 2: \( 3\sqrt[3]{x} - 2 = 0 \). Отсюда \( 3\sqrt[3]{x} = 2 \), \( \sqrt[3]{x} = \frac{2}{3} \). Возводим в куб: \( x = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \).
• Шаг 5 (Проверка): Оба корня, \( x=0 \) и \( x=\frac{8}{27} \), удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \( 0; \frac{8}{27} \)