ГДЗ: Упражнение 158 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 5-x \ge 0 \) и \( 5+x \ge 0 \). Это дает \( x \le 5 \) и \( x \ge -5 \). Общее ОДЗ: \( -5 \le x \le 5 \).
• Шаг 2: Изолируем один корень: \( \sqrt{5-x} = 2 + \sqrt{5+x} \).
• Шаг 3: Условие равносильности: правая часть \( 2 + \sqrt{5+x} \) всегда неотрицательна в ОДЗ.
• Шаг 4: Возведем обе части в квадрат: \( 5-x = (2 + \sqrt{5+x})^2 \). \( 5-x = 4 + 4\sqrt{5+x} + (5+x) \).
• Шаг 5: Изолируем оставшийся корень: \( 5-x = 9 + x + 4\sqrt{5+x} \). \( 4\sqrt{5+x} = 5-x - 9 - x \), то есть \( 4\sqrt{5+x} = -4 - 2x \).
• Шаг 6: Делим на 2: \( 2\sqrt{5+x} = -2 - x \).
• Шаг 7: Условие равносильности: правая часть должна быть неотрицательна: \( -2 - x \ge 0 \), то есть \( x \le -2 \). Общее условие: \( -5 \le x \le -2 \).
• Шаг 8: Возведем обе части в квадрат: \( (2\sqrt{5+x})^2 = (-2-x)^2 \). \( 4(5+x) = (x+2)^2 \). \( 20 + 4x = x^2 + 4x + 4 \).
• Шаг 9: Решаем квадратное уравнение: \( x^2 = 16 \). Корни: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -4 \).
• Шаг 10 (Проверка): Проверяем условие \( -5 \le x \le -2 \):
• Для \( x_1 = 4 \): \( 4 \le -2 \) - неверно. Корень \( x_1 = 4 \) - посторонний.
• Для \( x_2 = -4 \): \( -5 \le -4 \le -2 \) - верно. Проверка в исходном: \( \sqrt{5-(-4)} - \sqrt{5+(-4)} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 \). Получаем \( 2 = 2 \). Верно.

Ответ: \( -4 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( 12+x \ge 0 \) и \( 1-x \ge 0 \). Это дает \( x \ge -12 \) и \( x \le 1 \). Общее ОДЗ: \( -12 \le x \le 1 \).
• Шаг 2: Изолируем один корень: \( \sqrt{12+x} = 1 - \sqrt{1-x} \).
• Шаг 3: Условие равносильности: правая часть неотрицательна: \( 1 - \sqrt{1-x} \ge 0 \), то есть \( 1 \ge \sqrt{1-x} \). Возведем в квадрат: \( 1 \ge 1-x \), откуда \( x \ge 0 \). Общее условие: \( 0 \le x \le 1 \).
• Шаг 4: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( 12+x = (1 - \sqrt{1-x})^2 \). \( 12+x = 1 - 2\sqrt{1-x} + (1-x) \).
• Шаг 5: Изолируем оставшийся корень: \( 12+x = 2 - x - 2\sqrt{1-x} \). \( 2\sqrt{1-x} = 2 - x - 12 - x \), то есть \( 2\sqrt{1-x} = -10 - 2x \).
• Шаг 6: Делим на 2: \( \sqrt{1-x} = -5 - x \).
• Шаг 7: Условие равносильности: правая часть неотрицательна: \( -5 - x \ge 0 \), то есть \( x \le -5 \).
• Шаг 8: Ищем пересечение условий \( 0 \le x \le 1 \) (из шага 3) и \( x \le -5 \) (из шага 7). Пересечение пусто.
• Таким образом, уравнение не имеет решений, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: Корней нет

Решение:

• Шаг 1: Сумма квадратных корней равна нулю только в том случае, если каждое подкоренное выражение равно нулю.
• Шаг 2: Находим ОДЗ: \( x-2 \ge 0 \) и \( x+6 \ge 0 \). Это дает \( x \ge 2 \) и \( x \ge -6 \). Общее ОДЗ: \( x \ge 2 \).
• Шаг 3: Приравниваем каждый корень к нулю:
• \( \sqrt{x-2} = 0 \). Возводим в квадрат: \( x-2 = 0 \), откуда \( x = 2 \).
• \( \sqrt{x+6} = 0 \). Возводим в квадрат: \( x+6 = 0 \), откуда \( x = -6 \).
• Шаг 4: Решение исходного уравнения должно удовлетворять обоим условиям, то есть \( x=2 \) и \( x=-6 \). Это невозможно.
• Шаг 5 (Проверка): Проверим \( x=2 \) в исходном: \( \sqrt{2-2} + \sqrt{2+6} = 0 + \sqrt{8} = \sqrt{8} \). \( \sqrt{8} \ne 0 \). Не подходит.
• Проверим \( x=-6 \) в исходном: \( \sqrt{-6-2} \) - не определено в действительных числах.

Ответ: Корней нет

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( x+7 \ge 0 \) и \( x-2 \ge 0 \). Это дает \( x \ge -7 \) и \( x \ge 2 \). Общее ОДЗ: \( x \ge 2 \).
• Шаг 2: Изолируем один корень: \( \sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2} \).
• Шаг 3: Условие равносильности: правая часть неотрицательна: \( 9 - \sqrt{x-2} \ge 0 \), то есть \( 9 \ge \sqrt{x-2} \). Возводим в квадрат: \( 81 \ge x-2 \), откуда \( x \le 83 \). Общее условие: \( 2 \le x \le 83 \).
• Шаг 4: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( x+7 = (9 - \sqrt{x-2})^2 \). \( x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + (x-2) \).
• Шаг 5: Изолируем оставшийся корень: \( x+7 = 79 + x - 18\sqrt{x-2} \). \( 18\sqrt{x-2} = 79 + x - x - 7 \), то есть \( 18\sqrt{x-2} = 72 \).
• Шаг 6: Делим на 18: \( \sqrt{x-2} = 4 \).
• Шаг 7: Возведем в квадрат: \( x-2 = 16 \), откуда \( x = 18 \).
• Шаг 8 (Проверка): Проверим условие \( 2 \le x \le 83 \): \( 2 \le 18 \le 83 \) - верно. Проверка в исходном: \( \sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9 \). Получаем \( 9 = 9 \). Верно.

Ответ: \( 18 \)