ГДЗ: Упражнение 161 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
При возведении обеих частей уравнения \( f(x) = g(x) \) в натуральную степень \( n \) получается уравнение \( (f(x))^n = (g(x))^n \), которое является следствием данного уравнения.
Из \( f(x) = g(x) \) следует \( (f(x))^n = (g(x))^n \), где \( n \in \mathbb{N} \).
Посторонние корни и проверка
При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, особенно при возведении в четную степень. Поэтому проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение обязательна.
Для уравнения \( \sqrt{6-x} = x \), возведение в квадрат дает \( 6-x = x^2 \), которое имеет корни \( x_1=2 \) и \( x_2=-3 \). Корень \( x_2=-3 \) является посторонним.
Условие равносильности
Если обе части уравнения \( f(x) = g(x) \) неотрицательны на множестве X, то уравнение \( f(x) = g(x) \) равносильно уравнению \( (f(x))^n = (g(x))^n \) при \( n \in \mathbb{N} \).
Если \( f(x) \ge 0 \) и \( g(x) \ge 0 \), то \( \sqrt{f(x)} = g(x) \) равносильно системе \( \begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
