ГДЗ: Упражнение 154 - § 9 (Иррациональные уравнения) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( x+1 \ge 0 \) и \( 1-x \ge 0 \). Это дает \( x \ge -1 \) и \( x \le 1 \). Общее ОДЗ: \( -1 \le x \le 1 \).
• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{1-x})^2 \), что дает \( x+1 = 1-x \).
• Шаг 3: Решаем линейное уравнение: \( x + x = 1 - 1 \), \( 2x = 0 \), откуда \( x = 0 \).
• Шаг 4 (Проверка): Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: \( -1 \le 0 \le 1 \) - верно. Подставим \( x=0 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1 \) и \( \sqrt{1-0} = \sqrt{1} = 1 \). Получаем \( 1 = 1 \).

Ответ: \( 0 \)

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( x+1 \ge 0 \) и \( x+11 \ge 0 \). Это дает \( x \ge -1 \) и \( x \ge -11 \). Общее ОДЗ: \( x \ge -1 \).
• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{x+11})^2 \), что дает \( x+1 = x+11 \).
• Шаг 3: Решаем линейное уравнение: \( x - x = 11 - 1 \), \( 0 = 10 \).
• Шаг 4: Получили неверное равенство \( 0 = 10 \). Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: Корней нет

Решение:

• Шаг 1: Находим ОДЗ: \( x+3 \ge 0 \) и \( 5-x \ge 0 \). Это дает \( x \ge -3 \) и \( x \le 5 \). Общее ОДЗ: \( -3 \le x \le 5 \).
• Шаг 2: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{5-x})^2 \), что дает \( x+3 = 5-x \).
• Шаг 3: Решаем линейное уравнение: \( x + x = 5 - 3 \), \( 2x = 2 \), откуда \( x = 1 \).
• Шаг 4 (Проверка): Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: \( -3 \le 1 \le 5 \) - верно. Подставим \( x=1 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 \) и \( \sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2 \). Получаем \( 2 = 2 \).

Ответ: \( 1 \)

Решение:

• Шаг 1: Возведем обе части уравнения в квадрат: \( x^2-x-3 = 5x-3 \).
• Шаг 2: Решаем квадратное уравнение: \( x^2 - x - 5x - 3 + 3 = 0 \), что дает \( x^2 - 6x = 0 \).
• Шаг 3: Раскладываем на множители: \( x(x-6) = 0 \). Корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 6 \).
• Шаг 4 (Проверка ОДЗ): Подкоренные выражения должны быть неотрицательны. Проверим \( x^2-x-3 \ge 0 \) и \( 5x-3 \ge 0 \). Достаточно проверить \( 5x-3 \ge 0 \), так как \( x^2-x-3 = 5x-3 \).
• Проверка \( x_1 = 0 \): \( 5(0)-3 = -3 \). Так как \( -3 < 0 \), корень \( x_1 = 0 \) является посторонним.
• Проверка \( x_2 = 6 \): \( 5(6)-3 = 30-3 = 27 \). Так как \( 27 \ge 0 \), корень \( x_2 = 6 \) подходит.
• Шаг 5 (Проверка в исходное уравнение): Проверим \( x_2 = 6 \): \( \sqrt{6^2-6-3} = \sqrt{36-9} = \sqrt{27} \) и \( \sqrt{5(6)-3} = \sqrt{27} \). Получаем \( \sqrt{27} = \sqrt{27} \).

Ответ: \( 6 \)