ГДЗ: Упражнение 475 - § 27 (Синус, косинус и тангенс углов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• Косинус — чётная функция: \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \). Следовательно, \( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{6} \).

• Синус — нечётная функция: \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \). Следовательно, \( \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} \).

• Тангенс — нечётная функция: \( \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg} \alpha \). Следовательно, \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{tg} \frac{\pi}{4} \).

Подставим эти выражения в исходное:

\( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left(\cos \frac{\pi}{6}\right) \left(-\sin \frac{\pi}{6}\right) + \left(-\text{tg} \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{6} - \text{tg} \frac{\pi}{4} \)

Шаг 2: Подставим табличные значения.

• \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

• \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

• \( \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \)

Подставим значения в выражение:

\( -\cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{6} - \text{tg} \frac{\pi}{4} = -\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{4} - 1 \)

Шаг 3: Запишем окончательный ответ.

Сведём к общему знаменателю: \( -\frac{\sqrt{3}}{4} - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{\sqrt{3} + 4}{4} \).

Ответ: \( -\frac{\sqrt{3} + 4}{4} \) или \( -1 - \frac{\sqrt{3}}{4} \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• Тангенс — нечётная функция: \( \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg} \alpha \). Следовательно, \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg} \frac{\pi}{6} \).

• Котангенс — нечётная функция: \( \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg} \alpha \). Следовательно, \( \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\text{ctg} \frac{\pi}{6} \).

Возведение в квадрат делает результат положительным:

• \( \text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\text{tg} \frac{\pi}{6}\right)^2 = \text{tg}^2 \frac{\pi}{6} \)

• \( \text{ctg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\text{ctg} \frac{\pi}{6}\right)^2 = \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6} \)

Исходное выражение примет вид:

\( \frac{1 + \text{tg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{1 + \text{ctg}^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1 + \text{tg}^2 \frac{\pi}{6}}{1 + \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6}} \)

Шаг 2: Применим основные тригонометрические тождества.

Воспользуемся тождествами, связывающими тангенс/котангенс с косинусом/синусом:

• \( 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

• \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)

Подставим их в выражение (где \( \alpha = \frac{\pi}{6} \)):

\( \frac{1 + \text{tg}^2 \frac{\pi}{6}}{1 + \text{ctg}^2 \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{6}}}{\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{6}}} \)

Шаг 3: Упростим дробь и подставим табличные значения.

Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:

\( \frac{\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{6}}}{\frac{1}{\sin^2 \frac{\pi}{6}}} = \frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{6}} \cdot \sin^2 \frac{\pi}{6} = \frac{\sin^2 \frac{\pi}{6}}{\cos^2 \frac{\pi}{6}} \)

Поскольку \( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha \), то \( \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \text{tg}^2 \alpha \):

\( \frac{\sin^2 \frac{\pi}{6}}{\cos^2 \frac{\pi}{6}} = \text{tg}^2 \frac{\pi}{6} \)

Теперь подставим табличное значение: \( \text{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

\( \text{tg}^2 \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

Ответ: \( \frac{1}{3} \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• Синус — нечётная функция: \( \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} \) и \( \sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\sin \frac{\pi}{4}\right)^2 = \sin^2 \frac{\pi}{4} \).

• Косинус — чётная функция: \( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} \).

• Тангенс — нечётная функция: \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{tg} \frac{\pi}{4} \).

Подставим эти выражения в исходное:

\( 2 \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \)

\( = 2 \left(-\sin \frac{\pi}{6}\right) \left(\cos \frac{\pi}{3}\right) + \left(-\text{tg} \frac{\pi}{4}\right) + \sin^2 \frac{\pi}{4} \)

\( = -2 \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{3} - \text{tg} \frac{\pi}{4} + \sin^2 \frac{\pi}{4} \)

Шаг 2: Подставим табличные значения.

• \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

• \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)

• \( \text{tg} \frac{\pi}{4} = 1 \)

• \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), следовательно, \( \sin^2 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Подставим значения в выражение:

\( -2 \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) - 1 + \frac{1}{2} = \)

\( = -2 \cdot \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} \)

Шаг 3: Вычислим сумму.

Члены \( -\frac{1}{2} \) и \( +\frac{1}{2} \) взаимно уничтожаются:

\( -\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = -1 \)

Ответ: \( -1 \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• Косинус — чётная функция: \( \cos(-\pi) = \cos \pi \).

• Котангенс — нечётная функция: \( \text{ctg}\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\text{ctg} \frac{3\pi}{2} \) и \( \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg} \frac{\pi}{4} \).

• Синус — нечётная функция: \( \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin \frac{\pi}{2} \).

Подставим эти выражения в исходное:

\( \cos(-\pi) + \text{ctg}\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \)

\( = \cos \pi + \left(-\text{ctg} \frac{3\pi}{2}\right) - \left(-\sin \frac{\pi}{2}\right) + \left(-\text{ctg} \frac{\pi}{4}\right) \)

\( = \cos \pi - \text{ctg} \frac{3\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} - \text{ctg} \frac{\pi}{4} \)

Шаг 2: Подставим табличные значения.

• \( \cos \pi = -1 \)

• \( \text{ctg} \frac{3\pi}{2} = \frac{\cos \frac{3\pi}{2}}{\sin \frac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0 \)

• \( \sin \frac{\pi}{2} = 1 \)

• \( \text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 \)

Подставим значения в выражение:

\( -1 - 0 + 1 - 1 = -1 + 1 - 1 \)

Шаг 3: Вычислим сумму.

\( -1 + 1 - 1 = -1 \)

Ответ: \( -1 \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• Синус — нечётная функция: \( \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \left(-\sin \frac{\pi}{3}\right)^2 = \sin^2 \frac{\pi}{3} \).

• Косинус — чётная функция: \( \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \left(\cos \frac{\pi}{3}\right)^2 = \cos^2 \frac{\pi}{3} \).

Подставим эти выражения в исходное:

\( \frac{3 - \sin^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) - \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos \frac{\pi}{4}} = \frac{3 - \sin^2 \frac{\pi}{3} - \cos^2 \frac{\pi}{3}}{2 \cos \frac{\pi}{4}} \)

Шаг 2: Упростим числитель, используя основное тригонометрическое тождество.

Вынесем минус в числителе: \( 3 - \sin^2 \frac{\pi}{3} - \cos^2 \frac{\pi}{3} = 3 - \left(\sin^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}\right) \).

Используем тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) (где \( \alpha = \frac{\pi}{3} \)):

Числитель: \( 3 - \left(\sin^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{3}\right) = 3 - 1 = 2 \).

Выражение принимает вид: \( \frac{2}{2 \cos \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}} \).

Шаг 3: Подставим табличное значение.

\( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Значение дроби: \( \frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \).

Шаг 4: Избавимся от иррациональности в знаменателе.

Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\( \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)

Ответ: \( \sqrt{2} \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• Синус — нечётная функция: \( \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} \).

• Тангенс — нечётная функция: \( \text{tg}(-\pi) = -\text{tg} \pi \).

Подставим эти выражения в исходное:

\( 2 \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 3 + 7,5 \text{tg}(-\pi) + \frac{1}{8} \cos \frac{3\pi}{2} = \)

\( = 2 \left(-\sin \frac{\pi}{6}\right) + 3 + 7,5 \left(-\text{tg} \pi\right) + \frac{1}{8} \cos \frac{3\pi}{2} \)

\( = -2 \sin \frac{\pi}{6} + 3 - 7,5 \text{tg} \pi + \frac{1}{8} \cos \frac{3\pi}{2} \)

Шаг 2: Подставим табличные значения.

• \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

• \( \text{tg} \pi = 0 \)

• \( \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \)

Подставим значения в выражение:

\( -2 \left(\frac{1}{2}\right) + 3 - 7,5 \left(0\right) + \frac{1}{8} \left(0\right) = \)

\( = -1 + 3 - 0 + 0 \)

Шаг 3: Вычислим сумму.

\( -1 + 3 = 2 \)

Ответ: \( 2 \).