ГДЗ: Упражнение 477 - § 27 (Синус, косинус и тангенс углов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• \( \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos^2 \frac{\pi}{3} \) (косинус — чётная функция)

• \( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} \) (косинус — чётная функция)

• \( \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} \) (синус — нечётная функция)

Подставим эти выражения в дробь:

\( \frac{2 - \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos^2\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{2 - \sin^2 \frac{\pi}{6} + \cos^2 \frac{\pi}{3}}{2 \cos \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{6}} \)

Шаг 2: Подставим табличные значения.

• \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

• \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \)

Подставим значения в выражение:

\( \frac{2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}{2 \left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}} = \frac{2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} \)

Шаг 3: Вычислим числитель и знаменатель.

Числитель: \( 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 2 \) (члены \( -\frac{1}{4} \) и \( +\frac{1}{4} \) взаимно уничтожаются).

Знаменатель: \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

Выражение: \( \frac{2}{\frac{1}{2}} \)

Шаг 4: Вычислим окончательное значение.

\( \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 \)

Ответ: \( 4 \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• Синус — нечётная функция: \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin \frac{\pi}{3} \)

• Котангенс — нечётная функция: \( \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{ctg} \frac{\pi}{4} \)

• Косинус — чётная функция: \( \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos \frac{3\pi}{2} \)

Подставим эти выражения в исходное:

\( \sqrt{3} \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 2 \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 4 \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \)

\( = \sqrt{3} \left(-\sin \frac{\pi}{3}\right) - 2 \left(-\text{ctg} \frac{\pi}{4}\right) + 4 \cos \frac{3\pi}{2} \)

\( = -\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{3} + 2 \text{ctg} \frac{\pi}{4} + 4 \cos \frac{3\pi}{2} \)

Шаг 2: Подставим табличные значения.

• \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

• \( \text{ctg} \frac{\pi}{4} = 1 \)

• \( \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \)

Подставим значения в выражение:

\( -\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 \left(1\right) + 4 \left(0\right) = \)

\( = -\frac{(\sqrt{3})^2}{2} + 2 + 0 \)

\( = -\frac{3}{2} + 2 \)

Шаг 3: Вычислим сумму.

\( -\frac{3}{2} + 2 = -1,5 + 2 = 0,5 \) или \( 2 - 1\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \) или \( 0,5 \).