ГДЗ: § 25 / Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы

Упражнения

Выберите номер упражнения, чтобы посмотреть решение.

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Данные параграфа

Все параграфы →

Глава: Глава 5
Параграф: § 25 — Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.