ГДЗ: Упражнение 464 - Параграф § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

464 упражнение:

Известно, что \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} \). Найти:

1) \( \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)

Ответ

Шаг 1: Возводим данное равенство в квадрат.

Дано: \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} \).
Возводим обе части в квадрат: \( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \).
Раскрываем скобки: \( \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} \).

Шаг 2: Используем основное тригонометрическое тождество.

Мы знаем, что \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Подставляем это в уравнение: \( 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \).

Шаг 3: Выражаем \( \sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Вычитаем 1 из обеих частей: \( 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4} \).
Делим обе части на 2: \( \sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{8} \).

Ответ: \( -\frac{3}{8} \).

2) \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \)

Ответ

Шаг 1: Используем формулу суммы кубов.

Формула: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).
Применим к тригонометрическому выражению: \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) \).

Шаг 2: Упрощаем выражение с использованием тождества.

Перегруппируем слагаемые: \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)((\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - \sin \alpha \cos \alpha) \).
Используем \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \): \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha) \).

Шаг 3: Подставляем известные значения.

Дано: \( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} \).
Из варианта 1: \( \sin \alpha \cdot \cos \alpha = -\frac{3}{8} \).
Подставляем: \( \sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \left( \frac{1}{2} \right) \left( 1 - \left( -\frac{3}{8} \right) \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{3}{8} \right) \).

Шаг 4: Выполняем вычисления.

\( \frac{1}{2} \left( \frac{8}{8} + \frac{3}{8} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{8} = \frac{11}{16} \).

Ответ: \( \frac{11}{16} \).

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Другие упражнения из параграфа § 25

456 457 458 459 460 461 462 463 464

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 25 — Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.