ГДЗ: Упражнение 460 - Параграф § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

460 упражнение:

Какие значения может принимать:

1) \( 2\cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{1}{5} \)

Ответ

Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Выражаем \( \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
Подставляем \( \sin \alpha = \frac{1}{5} \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{1}{5} \right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \).
Извлекаем корень: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{24}{25}} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5} = \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} \).

Шаг 2: Находим \( 2\cos \alpha \).

Умножаем найденные значения \( \cos \alpha \) на 2: \( 2\cos \alpha = 2 \cdot \left( \pm\frac{2\sqrt{6}}{5} \right) = \pm\frac{4\sqrt{6}}{5} \).

Ответ: Выражение \( 2\cos \alpha \) может принимать значения \( \frac{4\sqrt{6}}{5} \) и \( -\frac{4\sqrt{6}}{5} \).

2) \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} \)

Ответ

Шаг 1: Находим \( \sin \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Выражаем \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \).
Подставляем \( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).
Извлекаем корень: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5} \).

Ответ: Выражение \( \sin \alpha \) может принимать значения \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \) и \( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \).

3) \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \)

Ответ

Шаг 1: Находим \( \sin \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Выражаем \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \).
Подставляем \( \cos \alpha = \frac{2}{3} \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \).
Извлекаем корень: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} \).

Ответ: Выражение \( \sin \alpha \) может принимать значения \( \frac{\sqrt{5}}{3} \) и \( -\frac{\sqrt{5}}{3} \).

4) \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

Ответ

Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Выражаем \( \cos^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
Подставляем \( \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).
Извлекаем корень: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} \).

Ответ: Выражение \( \cos \alpha \) может принимать значения \( \frac{\sqrt{6}}{3} \) и \( -\frac{\sqrt{6}}{3} \).

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Другие упражнения из параграфа § 25

456 457 458 459 460 461 462 463 464

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 25 — Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.