ГДЗ: Упражнение 463 - Параграф § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

463 упражнение:

Известно, что \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \). Найти значения выражения:

1) \( \frac{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha} \)

Ответ

Шаг 1: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Используем формулу \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставляем \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \): \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{2} \).

Шаг 2: Подставляем значения в выражение.

Выражение: \( \frac{\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha} = \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} - 2} \).
Числитель: \( \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \).
Знаменатель: \( \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} \).
Отношение: \( \frac{5/2}{-3/2} = 5 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -\frac{5}{3} \).

Ответ: \( -\frac{5}{3} \).

2) \( \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} \)

Ответ

Шаг 1: Преобразуем выражение.

Разделим числитель и знаменатель на \( \cos \alpha \) (поскольку \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \) существует, \( \cos \alpha \neq 0 \)): \( \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{\operatorname{tg} \alpha - 1}{\operatorname{tg} \alpha + 1} \).

Шаг 2: Подставляем значение \( \operatorname{tg} \alpha \).

Подставляем \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \): \( \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3} \).

Ответ: \( \frac{1}{3} \).

3) \( \frac{2\sin \alpha + 3\cos \alpha}{5\sin \alpha - 5\cos \alpha} \)

Ответ

Шаг 1: Преобразуем выражение.

Разделим числитель и знаменатель на \( \cos \alpha \): \( \frac{2\sin \alpha + 3\cos \alpha}{5\sin \alpha - 5\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{3\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{5\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{5\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{2\operatorname{tg} \alpha + 3}{5\operatorname{tg} \alpha - 5} \).

Шаг 2: Подставляем значение \( \operatorname{tg} \alpha \).

Подставляем \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \): \( \frac{2(2) + 3}{5(2) - 5} = \frac{4 + 3}{10 - 5} = \frac{7}{5} \).

Ответ: \( \frac{7}{5} \).

4) \( \frac{\sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} \)

Ответ

Шаг 1: Преобразуем выражение.

Разделим числитель и знаменатель на \( \cos^2 \alpha \) (поскольку \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \) существует, \( \cos \alpha \neq 0 \)): \( \frac{\sin^2 \alpha + 2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{2\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}} = \frac{\operatorname{tg}^2 \alpha + 2}{\operatorname{tg}^2 \alpha - 1} \).

Шаг 2: Подставляем значение \( \operatorname{tg} \alpha \).

Подставляем \( \operatorname{tg} \alpha = 2 \): \( \frac{(2)^2 + 2}{(2)^2 - 1} = \frac{4 + 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \).

Ответ: \( 2 \).

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Другие упражнения из параграфа § 25

456 457 458 459 460 461 462 463 464

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 25 — Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.