ГДЗ: Упражнение 458 - Параграф § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

458 упражнение:

Вычислить:

1) \( \sin \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \), если \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)

Ответ

Шаг 1: Находим \( \sin \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Выразим \( \sin \alpha \): \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \).
Подставим значение \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \): \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \left( -\frac{3}{5} \right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \pm\sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} \).
Определим знак \( \sin \alpha \). Угол \( \alpha \) лежит во II четверти (\( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)), где синус положителен (\( \sin \alpha > 0 \)).
Следовательно, \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \).

Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).

Используем определение тангенса: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Подставим найденные значения: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3} \).

Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Используем соотношение: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставим найденное значение \( \operatorname{tg} \alpha \): \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4} \).

Ответ: \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{4}{3} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{3}{4} \).

2) \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{2}{5} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)

Ответ

Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).
Выразим \( \cos \alpha \): \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \).
Подставим значение \( \sin \alpha = -\frac{2}{5} \): \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \left( -\frac{2}{5} \right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{4}{25}} = \pm\sqrt{\frac{25 - 4}{25}} = \pm\sqrt{\frac{21}{25}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5} \).
Определим знак \( \cos \alpha \). Угол \( \alpha \) лежит в III четверти (\( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)), где косинус отрицателен (\( \cos \alpha < 0 \)).
Следовательно, \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5} \).

Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).

Используем определение тангенса: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Подставим найденные значения: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{-2/5}{-\sqrt{21}/5} = \frac{-2}{-\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21} \).

Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Используем соотношение: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставим найденное значение \( \operatorname{tg} \alpha \): \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{2/\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{2} \).

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \).

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Другие упражнения из параграфа § 25

456 457 458 459 460 461 462 463 464

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 25 — Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.