ГДЗ: Упражнение 461 - Параграф § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

461 упражнение:

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) \( \sin \alpha = \frac{1}{5} \) и \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{24}} \)

Ответ

Пояснение:

Для существования угла \( \alpha \), удовлетворяющего этим условиям, должно выполняться тождество \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), то есть \( \cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Также, найденный \( \cos \alpha \) должен удовлетворять основному тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).

\( \cos \alpha = \frac{1/5}{1/\sqrt{24}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \).

Шаг 2: Проверяем основное тождество.

Подставляем \( \sin \alpha = \frac{1}{5} \) и \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{24}}{5} \) в \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
\( \left( \frac{1}{5} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{24}}{5} \right)^2 = \frac{1}{25} + \frac{24}{25} = \frac{25}{25} = 1 \).
Сумма квадратов равна 1.

Шаг 3: Проверяем знаки.

\( \sin \alpha = \frac{1}{5} > 0 \).
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{24}} > 0 \).
Если \( \sin \alpha > 0 \) и \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), то угол должен находиться в I четверти, где \( \cos \alpha \) также должен быть положительным.
Найденное значение \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{24}}{5} > 0 \).
Все условия согласованы.

Вывод: Равенства могут выполняться одновременно.

Ответ: Могут.

2) \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} \) и \( \cos \alpha = \frac{3}{4} \)

Ответ

Пояснение:

Для существования угла \( \alpha \), удовлетворяющего этим условиям, должно выполняться тождество \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), то есть \( \sin \alpha = \frac{\cos \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} \).
Также, найденный \( \sin \alpha \) должен удовлетворять основному тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Шаг 1: Находим \( \sin \alpha \).

\( \sin \alpha = \frac{3/4}{\sqrt{7}/3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{9}{4\sqrt{7}} \).

Шаг 2: Проверяем основное тождество.

Подставляем \( \sin \alpha = \frac{9}{4\sqrt{7}} \) и \( \cos \alpha = \frac{3}{4} \) в \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
\( \left( \frac{9}{4\sqrt{7}} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{81}{16 \cdot 7} + \frac{9}{16} = \frac{81}{112} + \frac{9 \cdot 7}{16 \cdot 7} = \frac{81}{112} + \frac{63}{112} = \frac{144}{112} \).
Сокращаем дробь: \( \frac{144}{112} = \frac{72}{56} = \frac{36}{28} = \frac{9}{7} \).
Сравним с единицей: \( \frac{9}{7} \neq 1 \).

Вывод: Поскольку сумма квадратов не равна 1, равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: Не могут.

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Другие упражнения из параграфа § 25

456 457 458 459 460 461 462 463 464

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 25 — Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.