ГДЗ: Упражнение 456 - § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Мы знаем, что для любого угла \( \alpha \), синус и косинус удовлетворяют основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Из этого тождества следует, что \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \) и \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
Поскольку \( \sin^2 \alpha \ge 0 \) и \( \cos^2 \alpha \ge 0 \), то должно выполняться: \( 1 - \cos^2 \alpha \ge 0 \implies \cos^2 \alpha \le 1 \implies |\cos \alpha| \le 1 \).
Таким образом, и синус, и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\).
Проверка значения:
Данное значение равно \( 0,03 \).
Поскольку \( -1 \le 0,03 \le 1 \), это значение может принимать и синус, и косинус.
Ответ: Может.
2)
\( \frac{2}{5} \)
Ответ
Пояснение:
Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).
Проверка значения:
Данное значение равно \( \frac{2}{5} = 0,4 \).
Поскольку \( -1 \le 0,4 \le 1 \), это значение может принимать и синус, и косинус.
Ответ: Может.
3)
\( \frac{5}{3} \)
Ответ
Пояснение:
Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).
Проверка значения:
Данное значение равно \( \frac{5}{3} \approx 1,67 \).
Поскольку \( \frac{5}{3} > 1 \), это значение не может принимать ни синус, ни косинус.
Ответ: Не может.
4)
\( -\frac{11}{13} \)
Ответ
Пояснение:
Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).
Проверка значения:
Данное значение равно \( -\frac{11}{13} \approx -0,85 \).
Поскольку \( -1 \le -\frac{11}{13} \le 1 \), это значение может принимать и синус, и косинус.
Ответ: Может.
5)
\( -\frac{13}{11} \)
Ответ
Пояснение:
Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).
Проверка значения:
Данное значение равно \( -\frac{13}{11} \approx -1,18 \).
Поскольку \( -\frac{13}{11} < -1 \), это значение не может принимать ни синус, ни косинус.
Ответ: Не может.
6)
\( \sqrt{2} \)
Ответ
Пояснение:
Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).
Проверка значения:
Данное значение равно \( \sqrt{2} \approx 1,414 \).
Поскольку \( \sqrt{2} > 1 \), это значение не может принимать ни синус, ни косинус.
Ответ: Не может.
Что применять при решении
Основное тригонометрическое тождество
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
Связь тангенса и косинуса
Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).
Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).
Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
