ГДЗ: Упражнение 457 - Параграф § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

457 упражнение:

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1) \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Ответ

Пояснение:

Для проверки того, могут ли два значения \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) существовать одновременно, необходимо проверить, удовлетворяют ли они основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Решение:

Подставим данные значения в тождество:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 \)
Вычислим квадраты:
\( \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
\( \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
Сложим результаты:
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \)
Сравним с единицей:
\( \frac{5}{6} \neq 1 \)

Вывод: Поскольку сумма квадратов не равна 1, равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: Не могут.

2) \( \sin \alpha = -\frac{4}{5} \) и \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \)

Ответ

Пояснение:

Проверим, удовлетворяют ли данные значения основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Решение:

Подставим данные значения в тождество:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( -\frac{4}{5} \right)^2 + \left( -\frac{3}{5} \right)^2 \)
Вычислим квадраты:
\( \left( -\frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} \)
\( \left( -\frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25} \)
Сложим результаты:
\( \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{16 + 9}{25} = \frac{25}{25} = 1 \)
Сравним с единицей:
\( 1 = 1 \)

Вывод: Поскольку сумма квадратов равна 1, равенства могут выполняться одновременно. (Заметим, что оба значения отрицательны, что соответствует III четверти, где \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)).

Ответ: Могут.

3) \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{3}{5}} \) и \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{5}} \)

Ответ

Пояснение:

Проверим, удовлетворяют ли данные значения основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Решение:

Подставим данные значения в тождество:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( -\sqrt{\frac{3}{5}} \right)^2 + \left( \sqrt{\frac{2}{5}} \right)^2 \)
Вычислим квадраты:
\( \left( -\sqrt{\frac{3}{5}} \right)^2 = \frac{3}{5} \)
\( \left( \sqrt{\frac{2}{5}} \right)^2 = \frac{2}{5} \)
Сложим результаты:
\( \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3 + 2}{5} = \frac{5}{5} = 1 \)
Сравним с единицей:
\( 1 = 1 \)

Вывод: Поскольку сумма квадратов равна 1, равенства могут выполняться одновременно. (Заметим, что \( \sin \alpha < 0 \) и \( \cos \alpha > 0 \), что соответствует IV четверти, где \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)).

Ответ: Могут.

4) \( \sin \alpha = 0,2 \) и \( \cos \alpha = 0,8 \)

Ответ

Пояснение:

Проверим, удовлетворяют ли данные значения основному тригонометрическому тождеству: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Решение:

Подставим данные значения в тождество:
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = (0,2)^2 + (0,8)^2 \)
Вычислим квадраты:
\( (0,2)^2 = 0,04 \)
\( (0,8)^2 = 0,64 \)
Сложим результаты:
\( 0,04 + 0,64 = 0,68 \)
Сравним с единицей:
\( 0,68 \neq 1 \)

Вывод: Поскольку сумма квадратов не равна 1, равенства не могут выполняться одновременно.

Ответ: Не могут.

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Другие упражнения из параграфа § 25

456 457 458 459 460 461 462 463 464

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 25 — Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.