А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
459 упражнение:
По значению одной из тригонометрических функций (\( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \), \( \operatorname{ctg} \alpha \)) найти значения остальных трёх:
1)
\( \cos \alpha = \frac{5}{13} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)
Ответ
Дано: \( \cos \alpha = \frac{5}{13} \), угол \( \alpha \) находится в IV четверти (\( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)).
Шаг 1: Находим \( \sin \alpha \).
Формула: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \). Подставляем: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \left( \frac{5}{13} \right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \pm\sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} \). В IV четверти \( \sin \alpha < 0 \). Поэтому: \( \sin \alpha = -\frac{12}{13} \). Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5} \). Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} \). Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{12}{13} \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{12}{5} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12} \).
2)
\( \sin \alpha = 0,8 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)
Ответ
Дано: \( \sin \alpha = 0,8 = \frac{4}{5} \), угол \( \alpha \) находится во II четверти (\( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)).
Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).
Формула: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \). Подставляем: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - (0,8)^2} = \pm\sqrt{1 - 0,64} = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 = \pm\frac{3}{5} \). Во II четверти \( \cos \alpha < 0 \). Поэтому: \( \cos \alpha = -0,6 = -\frac{3}{5} \). Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \). Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4} \). Ответ: \( \cos \alpha = -0,6 \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{4}{3} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{3}{4} \).
3)
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)
Ответ
Дано: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8} \), угол \( \alpha \) находится в III четверти (\( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)).
Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).
Формула: \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \). Подставляем: \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \left( \frac{15}{8} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{225}{64}} = \frac{1}{\frac{64 + 225}{64}} = \frac{64}{289} \). Извлекаем корень: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17} \). В III четверти \( \cos \alpha < 0 \). Поэтому: \( \cos \alpha = -\frac{8}{17} \). Шаг 2: Находим \( \sin \alpha \).
Формула: \( \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \). Подставляем: \( \sin \alpha = \frac{15}{8} \cdot \left( -\frac{8}{17} \right) = -\frac{15}{17} \). Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{15/8} = \frac{8}{15} \). Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{15}{17} \), \( \cos \alpha = -\frac{8}{17} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{8}{15} \).
4)
\( \operatorname{ctg} \alpha = -3 \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)
Ответ
Дано: \( \operatorname{ctg} \alpha = -3 \), угол \( \alpha \) находится в IV четверти (\( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)).
Шаг 1: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \). Шаг 2: Находим \( \sin \alpha \).
Формула для \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} \). Подставляем: \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + (-3)^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} \). Извлекаем корень: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10} \). В IV четверти \( \sin \alpha < 0 \). Поэтому: \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10} \). Шаг 3: Находим \( \cos \alpha \).
Формула: \( \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha \). Подставляем: \( \cos \alpha = (-3) \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{10}} \right) = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \). Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10} \), \( \cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{3} \).
5)
\( \cos \alpha = 0,8 \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \)
Ответ
Дано: \( \cos \alpha = 0,8 = \frac{4}{5} \), угол \( \alpha \) находится в I четверти (\( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \)).
Шаг 1: Находим \( \sin \alpha \).
Формула: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \). Подставляем: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - (0,8)^2} = \pm\sqrt{1 - 0,64} = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 = \pm\frac{3}{5} \). В I четверти \( \sin \alpha > 0 \). Поэтому: \( \sin \alpha = 0,6 = \frac{3}{5} \). Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75 \). Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3} \). Ответ: \( \sin \alpha = 0,6 \), \( \operatorname{tg} \alpha = 0,75 \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{4}{3} \).
6)
\( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)
Ответ
Дано: \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \), угол \( \alpha \) находится в IV четверти (\( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)).
Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).
Формула: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \). Подставляем: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \left( -\frac{5}{13} \right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \pm\sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} \). В IV четверти \( \cos \alpha > 0 \). Поэтому: \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \). Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12} \). Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5} \). Ответ: \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{12}{5} \).
7)
\( \operatorname{tg} \alpha = -2,4 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)
Ответ
Дано: \( \operatorname{tg} \alpha = -2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5} \), угол \( \alpha \) находится во II четверти (\( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)).
Шаг 1: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} \). Шаг 2: Находим \( \cos \alpha \).
Формула: \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \). Подставляем: \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + (-2,4)^2} = \frac{1}{1 + 5,76} = \frac{1}{6,76} = \frac{1}{676/100} = \frac{100}{676} = \frac{25}{169} \). Извлекаем корень: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} \). Во II четверти \( \cos \alpha < 0 \). Поэтому: \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \). Шаг 3: Находим \( \sin \alpha \).
Формула: \( \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \). Подставляем: \( \sin \alpha = \left( -\frac{12}{5} \right) \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = \frac{12}{13} \). Ответ: \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \), \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12} \).
8)
\( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)
Ответ
Дано: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24} \), угол \( \alpha \) находится в III четверти (\( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)).
Шаг 1: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).
Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \). Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7} \). Шаг 2: Находим \( \sin \alpha \).
Формула для \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} \). Подставляем: \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \left( \frac{7}{24} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576 + 49}{576}} = \frac{576}{625} \). Извлекаем корень: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25} \). В III четверти \( \sin \alpha < 0 \). Поэтому: \( \sin \alpha = -\frac{24}{25} \). Шаг 3: Находим \( \cos \alpha \).
Формула: \( \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha \). Подставляем: \( \cos \alpha = \frac{7}{24} \cdot \left( -\frac{24}{25} \right) = -\frac{7}{25} \). Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{24}{25} \), \( \cos \alpha = -\frac{7}{25} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{24}{7} \).
Что применять при решении
Основное тригонометрическое тождество
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).
\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)
Связь тангенса и косинуса
Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).
\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)
Определение тангенса и котангенса
Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).
\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 25
Глава
Глава 5
Параграф
§ 25 — Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
