ГДЗ: Упражнение 480 - § 27 (Синус, косинус и тангенс углов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Используем формулу для синуса отрицательного угла.

• Синус — нечётная функция: \( \sin(-x) = -\sin x \).

Уравнение принимает вид: \( -\sin x = 1 \).

Шаг 2: Выразим \( \sin x \).

Разделим обе части на \( -1 \): \( \sin x = -1 \).

Шаг 3: Решим простейшее тригонометрическое уравнение.

Уравнение \( \sin x = -1 \) имеет единственную серию решений на тригонометрическом круге:

\( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Используем формулу для косинуса отрицательного угла.

• Косинус — чётная функция: \( \cos(-2x) = \cos (2x) \).

Уравнение принимает вид: \( \cos(2x) = 0 \).

Шаг 2: Решим простейшее тригонометрическое уравнение.

Уравнение \( \cos \alpha = 0 \) имеет решения \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( \alpha = 2x \):

\( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Выразим \( x \).

Разделим обе части на \( 2 \):

\( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Используем формулу для косинуса отрицательного угла.

• Косинус — чётная функция: \( \cos(-2x) = \cos (2x) \).

Уравнение принимает вид: \( \cos(2x) = 1 \).

Шаг 2: Решим простейшее тригонометрическое уравнение.

Уравнение \( \cos \alpha = 1 \) имеет решения \( \alpha = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( \alpha = 2x \):

\( 2x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 3: Выразим \( x \).

Разделим обе части на \( 2 \):

\( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Используем формулу для синуса отрицательного угла.

• Синус — нечётная функция: \( \sin(-2x) = -\sin (2x) \).

Уравнение принимает вид: \( -\sin (2x) = 0 \).

Шаг 2: Выразим \( \sin (2x) \).

Умножим обе части на \( -1 \): \( \sin (2x) = 0 \).

Шаг 3: Решим простейшее тригонометрическое уравнение.

Уравнение \( \sin \alpha = 0 \) имеет решения \( \alpha = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( \alpha = 2x \):

\( 2x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 4: Выразим \( x \).

Разделим обе части на \( 2 \):

\( x = \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Используем формулы для функций отрицательного угла.

• Косинус — чётная функция: \( \cos(-x) = \cos x \), следовательно, \( \cos^2(-x) = \cos^2 x \).

• Синус — нечётная функция: \( \sin(-x) = -\sin x \).

Подставим в уравнение:

\( \cos^2 x + (-\sin x) = 2 - \sin^2 x \)

\( \cos^2 x - \sin x = 2 - \sin^2 x \)

Шаг 2: Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество.

Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \):

\( (1 - \sin^2 x) - \sin x = 2 - \sin^2 x \)

Шаг 3: Упростим уравнение.

Перенесем все члены в одну сторону:

\( 1 - \sin^2 x - \sin x - 2 + \sin^2 x = 0 \)

Члены \( -\sin^2 x \) и \( +\sin^2 x \) взаимно уничтожаются:

\( 1 - \sin x - 2 = 0 \)

\( -\sin x - 1 = 0 \)

Шаг 4: Выразим \( \sin x \) и решим простейшее тригонометрическое уравнение.

\( -\sin x = 1 \)

\( \sin x = -1 \)

Решения: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Шаг 1: Используем формулы для функций отрицательного угла и формулы приведения.

• \( 1 - \sin^2(-x) \). Синус — нечётная функция: \( \sin(-x) = -\sin x \). Возведение в квадрат: \( \sin^2(-x) = \sin^2 x \). Следовательно, \( 1 - \sin^2(-x) = 1 - \sin^2 x \). По основному тождеству: \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \).

• \( \cos(4\pi - x) \). Косинус имеет период \( 2\pi \). \( 4\pi \) — два периода. Следовательно, \( \cos(4\pi - x) = \cos (-x) \). Косинус — чётная функция: \( \cos(-x) = \cos x \).

• \( \cos(x - 2\pi) \). Косинус имеет период \( 2\pi \). Следовательно, \( \cos(x - 2\pi) = \cos x \).

Шаг 2: Подставим упрощенные выражения в уравнение.

\( \cos^2 x + \cos x = \cos x \)

Шаг 3: Решим уравнение.

Вычтем \( \cos x \) из обеих частей:

\( \cos^2 x = 0 \)

Шаг 4: Решим простейшее тригонометрическое уравнение.

Уравнение \( \cos \alpha = 0 \) имеет решения \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( \alpha = x \):

\( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).