А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
537 упражнение:
Упростить выражение:
1)
\( \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) \)
Ответ
Для упрощения выражения \( \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) \) используем формулу суммы синусов :
Формула: \( \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).Здесь \( A = \alpha + \frac{\pi}{3} \) и \( B = \alpha - \frac{\pi}{3} \).
Находим полусумму: \( \frac{A + B}{2} = \frac{\left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).Находим полуразность: \( \frac{A - B}{2} = \frac{\left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) - \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).Подставляем в формулу: \( \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) + \sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{3} \).Вычисляем значение: Известно, что \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \).Окончательное упрощение: \( 2 \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} = \sin \alpha \).Ответ: \( \sin \alpha \)
2)
\( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \)
Ответ
Для упрощения выражения \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \) используем формулу разности косинусов :
Формула: \( \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \).Здесь \( A = \frac{\pi}{4} - \alpha \) и \( B = \frac{\pi}{4} + \alpha \).
Находим полусумму: \( \frac{A + B}{2} = \frac{\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4} \).Находим полуразность: \( \frac{A - B}{2} = \frac{\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} - \alpha - \frac{\pi}{4} - \alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha \).Подставляем в формулу: \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) = -2 \sin \frac{\pi}{4} \sin (-\alpha) \).Используем нечётность синуса: \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \).Продолжаем подстановку: \( -2 \sin \frac{\pi}{4} (-\sin \alpha) = 2 \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha \).Вычисляем значение: Известно, что \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).Окончательное упрощение: \( 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \sqrt{2} \sin \alpha \).Ответ: \( \sqrt{2} \sin \alpha \)
3)
\( \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \)
Ответ
Для упрощения выражения \( \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \) используем формулу разности квадратов : \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
Разность: \( \sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \). Это разность синусов . Полусумма: \( \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4} \). Полуразность: \( \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \). Разность: \( 2 \sin \alpha \cos \frac{\pi}{4} = 2 \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \sin \alpha \). Сумма: \( \sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) \). Это сумма синусов . Полусумма: \( \frac{\pi}{4} \). (См. выше) Полуразность: \( \alpha \). (См. выше) Сумма: \( 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha \). Произведение разности и суммы: \( (\sqrt{2} \sin \alpha)(\sqrt{2} \cos \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).Используем формулу синуса двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).Ответ: \( \sin 2\alpha \)
4)
\( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \)
Ответ
Для упрощения выражения \( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \) используем формулу разности квадратов : \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
Разность: \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \). Это разность косинусов . Известно из варианта 2, что разность равна \( \sqrt{2} \sin \alpha \). Сумма: \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \). Это сумма косинусов . Формула: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).Полусумма: \( \frac{\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)}{2} = \frac{\pi}{4} \). Полуразность: \( \frac{\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)}{2} = -\alpha \). Сумма: \( 2 \cos \frac{\pi}{4} \cos (-\alpha) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha \) (т.к. \( \cos (-\alpha) = \cos \alpha \)). Произведение разности и суммы: \( (\sqrt{2} \sin \alpha)(\sqrt{2} \cos \alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \).Используем формулу синуса двойного угла: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \).Ответ: \( \sin 2\alpha \)
Что применять при решении
Сумма синусов
Формула преобразования суммы синусов в произведение.
\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Разность синусов
Формула преобразования разности синусов в произведение.
\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)
Сумма косинусов
Формула преобразования суммы косинусов в произведение.
\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Разность косинусов
Формула преобразования разности косинусов в произведение.
\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Преобразование произведения синуса и косинуса
Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
\( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)
Тангенс суммы
Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.
\( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
Косинус двойного угла (через синус)
Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.
\( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 32
Глава
Глава 5
Параграф
§ 32 — Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
