А вы знали?
Проект, реферат или доклад можно создать с помощью ИИ за 5 минут — и сразу скачать готовый файл Word.
Попробовать
545 упражнение:
Разложить на множители:
1)
\( 1 - \cos \alpha + \sin \alpha \)
Ответ
Разложим на множители \( 1 - \cos \alpha + \sin \alpha \).
Группируем: \( (1 - \cos \alpha) + \sin \alpha \).Преобразуем \( 1 - \cos \alpha \) (формула понижения степени): \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).Преобразуем \( \sin \alpha \) (формула двойного угла): \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).Подставляем: \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).Выносим общий множитель: \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right) \).Преобразуем сумму в скобке (линейная комбинация): \( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).Окончательный результат: \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 2\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).Ответ: \( 2\sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \)
2)
\( 1 - 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha \)
Ответ
Разложим на множители \( 1 - 2 \cos \alpha + \cos 2\alpha \).
Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \).Подставляем: \( 1 - 2 \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1) \).Упрощаем: \( -2 \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha \).Выносим общий множитель: \( 2 \cos \alpha (\cos \alpha - 1) \).Преобразуем \( \cos \alpha - 1 \) (формула понижения степени): \( - (1 - \cos \alpha) = - (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) \).Окончательный результат: \( 2 \cos \alpha \left( -2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right) = -4 \cos \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).Ответ: \( -4 \cos \alpha \sin^2 \frac{\alpha}{2} \)
3)
\( 1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha \)
Ответ
Разложим на множители \( 1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \operatorname{tg} \alpha \).
Заменяем тангенс: \( 1 + \sin \alpha - \cos \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).Группируем и выносим множители: \( (1 - \cos \alpha) + \left( \sin \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \).Во второй скобке выносим \( \sin \alpha \) и приводим к общему знаменателю: Выносим общий множитель \( 1 - \cos \alpha \) (или \( - (\cos \alpha - 1) \)): Заменяем дробь на тангенс: \( (1 - \cos \alpha) (1 - \operatorname{tg} \alpha) \).Преобразуем \( 1 - \cos \alpha \) (формула понижения степени): \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \).Окончательный результат: \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} (1 - \operatorname{tg} \alpha) \).Ответ: \( 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2} (1 - \operatorname{tg} \alpha) \)
4)
\( 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \operatorname{tg} \alpha \)
Ответ
Разложим на множители \( 1 + \sin \alpha + \cos \alpha + \operatorname{tg} \alpha \).
Заменяем тангенс: \( 1 + \cos \alpha + \sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).Группируем и выносим множители: \( (1 + \cos \alpha) + \left( \sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \).Во второй скобке выносим \( \sin \alpha \) и приводим к общему знаменателю: Выносим общий множитель \( 1 + \cos \alpha \): Заменяем дробь на тангенс: \( (1 + \cos \alpha) (1 + \operatorname{tg} \alpha) \).Преобразуем \( 1 + \cos \alpha \) (формула понижения степени): \( 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} \).Окончательный результат: \( 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} (1 + \operatorname{tg} \alpha) \).Ответ: \( 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} (1 + \operatorname{tg} \alpha) \)
Что применять при решении
Сумма синусов
Формула преобразования суммы синусов в произведение.
\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Разность синусов
Формула преобразования разности синусов в произведение.
\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)
Сумма косинусов
Формула преобразования суммы косинусов в произведение.
\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Разность косинусов
Формула преобразования разности косинусов в произведение.
\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)
Преобразование произведения синуса и косинуса
Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
\( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)
Тангенс суммы
Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.
\( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)
Косинус двойного угла (через синус)
Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.
\( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)
Не сходится своя задача? Разберём по шагам
Формула, подстановка и расчёт
Числа считает калькулятор, а не нейросеть
Бесплатно и без регистрации
Другие упражнения из параграфа § 32
Глава
Глава 5
Параграф
§ 32 — Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник
Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор
Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год
2025
Задали работу по этой теме?
Реферат, доклад или проект по параграфу: план, текст, таблицы и оформление по требованиям.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью .
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
