ГДЗ: Упражнение 540 - Параграф § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

540 упражнение:

Доказать тождество:

1) \( \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha \)

Ответ

Доказываем тождество \( \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha \). Преобразуем левую часть (ЛЧ).

Применяем формулу суммы синусов к числителю:
\( \sin \alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos (-\alpha) = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha \).

Применяем формулу суммы косинусов к знаменателю:
\( \cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos (-\alpha) = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha \).

Делим числитель на знаменатель (ЛЧ):
\( \text{ЛЧ} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{2 \cos 2\alpha \cos \alpha} \).

Сокращаем: Сокращаем \( 2 \) и \( \cos \alpha \) (при условии \( \cos \alpha \neq 0 \)).
\( \text{ЛЧ} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \).

Получаем тангенс: По определению, \( \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha \).

Сравнение: \( \operatorname{tg} 2\alpha = \text{ПЧ} \). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) \( \frac{\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha \)

Ответ

Доказываем тождество \( \frac{\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha} = \operatorname{ctg} \alpha \). Преобразуем левую часть (ЛЧ).

Применяем формулу суммы синусов к числителю:
\( \sin 2\alpha + \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} \cos \frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = 2 \sin 3\alpha \cos (-\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos \alpha \).

Применяем формулу разности косинусов к знаменателю:
\( \cos 2\alpha - \cos 4\alpha = -2 \sin \frac{2\alpha + 4\alpha}{2} \sin \frac{2\alpha - 4\alpha}{2} = -2 \sin 3\alpha \sin (-\alpha) \).

Учитываем нечётность синуса: \( \sin (-\alpha) = -\sin \alpha \).
Знаменатель: \( -2 \sin 3\alpha (-\sin \alpha) = 2 \sin 3\alpha \sin \alpha \).

Делим числитель на знаменатель (ЛЧ):
\( \text{ЛЧ} = \frac{2 \sin 3\alpha \cos \alpha}{2 \sin 3\alpha \sin \alpha} \).

Сокращаем: Сокращаем \( 2 \sin 3\alpha \) (при условии \( \sin 3\alpha \neq 0 \)).
\( \text{ЛЧ} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Получаем котангенс: По определению, \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha \).

Сравнение: \( \operatorname{ctg} \alpha = \text{ПЧ} \). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Что применять при решении

Сумма синусов

Формула преобразования суммы синусов в произведение.

\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность синусов

Формула преобразования разности синусов в произведение.

\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)

Сумма косинусов

Формула преобразования суммы косинусов в произведение.

\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность косинусов

Формула преобразования разности косинусов в произведение.

\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Преобразование произведения синуса и косинуса

Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

\( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)

Тангенс суммы

Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.

\( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

Косинус двойного угла (через синус)

Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.

\( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

Другие упражнения из параграфа § 32

537 538 539 540 541 542 543 544 545

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 32 — Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.