ГДЗ: Упражнение 542 - Параграф § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

542 упражнение:

Доказать тождество:

1) \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha - \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left( 2\alpha + \frac{\pi}{4} \right) \)

Ответ

Доказываем тождество \( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha - \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left( 2\alpha + \frac{\pi}{4} \right) \). Преобразуем левую часть (ЛЧ).

Преобразуем разность четвертых степеней: Используем разность квадратов \( a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \).
\( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) \).

Применяем тождества: \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) и \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \).
\( \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = \cos 2\alpha \cdot 1 = \cos 2\alpha \).

Подставляем в ЛЧ: \( \text{ЛЧ} = \cos 2\alpha - \sin 2\alpha \).

Преобразуем разность косинуса и синуса: Выносим \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \).
\( \cos 2\alpha - \sin 2\alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha \right) \).

Используем формулу косинуса суммы: \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} \).
\( \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos 2\alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin 2\alpha \right) \).

Сворачиваем: \( \sqrt{2} \cos \left( 2\alpha + \frac{\pi}{4} \right) \).

Сравнение: \( \sqrt{2} \cos \left( 2\alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \text{ПЧ} \). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) \( \cos 2\alpha + \cos \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) = 0 \)

Ответ

Доказываем тождество \( \cos 2\alpha + \cos \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) = 0 \). Преобразуем левую часть (ЛЧ).

Преобразуем сумму последних двух слагаемых: Используем формулу суммы косинусов:
\( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).
Здесь \( A = \frac{2\pi}{3} + \alpha \) и \( B = \frac{2\pi}{3} - \alpha \).

Находим полусумму: \( \frac{A + B}{2} = \frac{4\pi/3}{2} = \frac{2\pi}{3} \).

Находим полуразность: \( \frac{A - B}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha \).

Сумма: \( 2 \cos \frac{2\pi}{3} \cos \alpha \).

Вычисляем \( \cos \frac{2\pi}{3} \): \( \cos \frac{2\pi}{3} = \cos (\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} \).

Подставляем: \( 2 \left( -\frac{1}{2} \right) \cos \alpha = -\cos \alpha \).

Подставляем в ЛЧ: \( \text{ЛЧ} = \cos 2\alpha + (-\cos \alpha) = \cos 2\alpha - \cos \alpha \).

Упс! В условии ошибка. При использовании формулы суммы косинусов для \( \cos 2\alpha - \cos \alpha \) результат не равен 0.
Проверим, может в первом слагаемом было \( \cos \alpha \) вместо \( \cos 2\alpha \):
Если ЛЧ = \( \cos \alpha + \cos \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) \).
Тогда ЛЧ = \( \cos \alpha + (-\cos \alpha) = 0 \).
Следовательно, в условии опечатка: должно быть \( \cos \alpha \) вместо \( \cos 2\alpha \).
Докажем, предполагая опечатку.

Переписанная ЛЧ (с исправленной опечаткой): \( \cos \alpha + \cos \left( \frac{2\pi}{3} + \alpha \right) + \cos \left( \frac{2\pi}{3} - \alpha \right) \).

Подставляем упрощенную сумму косинусов: \( \cos \alpha + (- \cos \alpha) = 0 \).

Сравнение: \( 0 = \text{ПЧ} \). Тождество доказано (с исправленной опечаткой).

Ответ: Тождество доказано. (В условии, вероятно, опечатка. Если заменить \( \cos 2\alpha \) на \( \cos \alpha \), то тождество выполняется: \( \cos \alpha - \cos \alpha = 0 \)).

3) \( \frac{\sin 2\alpha + \sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 1 - 2 \sin^2 2\alpha} = 2 \sin \alpha \)

Ответ

Доказываем тождество \( \frac{\sin 2\alpha + \sin 5\alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha + 1 - 2 \sin^2 2\alpha} = 2 \sin \alpha \). Преобразуем левую часть (ЛЧ).

Преобразуем числитель (Ч): Группируем \( \sin 5\alpha - \sin 3\alpha \) и применяем формулу разности синусов:
\( \sin 5\alpha - \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{5\alpha - 3\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha + 3\alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos 4\alpha \).
Числитель: \( \sin 2\alpha + 2 \sin \alpha \cos 4\alpha \).

Преобразуем \( \sin 2\alpha \): \( 2 \sin \alpha \cos \alpha \).
Числитель: \( 2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 \sin \alpha \cos 4\alpha = 2 \sin \alpha (\cos \alpha + \cos 4\alpha) \).

Преобразуем знаменатель (З): Используем \( 1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x \).
\( 1 - 2 \sin^2 2\alpha = \cos (2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha \).
Знаменатель: \( \cos \alpha + \cos 4\alpha \).

Делим числитель на знаменатель (ЛЧ):
\( \text{ЛЧ} = \frac{2 \sin \alpha (\cos \alpha + \cos 4\alpha)}{\cos \alpha + \cos 4\alpha} \).

Сокращаем: Сокращаем \( (\cos \alpha + \cos 4\alpha) \).
\( \text{ЛЧ} = 2 \sin \alpha \).

Сравнение: \( 2 \sin \alpha = \text{ПЧ} \). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Что применять при решении

Сумма синусов

Формула преобразования суммы синусов в произведение.

\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность синусов

Формула преобразования разности синусов в произведение.

\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)

Сумма косинусов

Формула преобразования суммы косинусов в произведение.

\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность косинусов

Формула преобразования разности косинусов в произведение.

\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Преобразование произведения синуса и косинуса

Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

\( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)

Тангенс суммы

Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.

\( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

Косинус двойного угла (через синус)

Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.

\( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

Другие упражнения из параграфа § 32

537 538 539 540 541 542 543 544 545

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 32 — Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.