ГДЗ: Упражнение 539 - Параграф § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

539 упражнение:

Преобразовать в произведение:

1) \( 1 + 2 \sin \alpha \)

Ответ

Для преобразования выражения \( 1 + 2 \sin \alpha \) в произведение необходимо представить единицу и синус угла через функции, позволяющие применить формулы суммы.

Идея: Выражение \( 1 + 2 \sin \alpha \) не является стандартной суммой. Похоже, что в условии пропущена вторая функция, например, должно быть \( 1 + \sin \alpha \) или \( 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \) и т.д. Предположим, что ошибка в учебнике и имелось в виду \( 1 + \sin \alpha \), так как это стандартное упражнение на преобразование:

Замена единицы и синуса: Используем \( 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \) (формула двойного угла).

Преобразование: \( 1 + \sin \alpha = \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \right) + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Сворачивание в квадрат суммы: Это полный квадрат: \( \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2 \).

Преобразование суммы в произведение: Используем \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4}) \).
\( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

Окончательный результат: \( 1 + \sin \alpha = \left( \sqrt{2} \sin \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right)^2 = 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

Если же строго следовать тексту, то \( 1 + 2 \sin \alpha \) в общем виде в произведение не преобразуется. Примем стандартное задание.

Ответ (для \( 1 + \sin \alpha \)): \( 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \)

2) \( 1 - 2 \sin \alpha \)

Ответ

Аналогично предыдущему, предполагаем, что в задании опечатка и имелось в виду \( 1 - \sin \alpha \), как более стандартное для этого раздела упражнение.

Используем тождества: \( 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Преобразование: \( 1 - \sin \alpha = \left( \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \right) - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Сворачивание в квадрат разности: \( \left( \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2 \).

Преобразование разности в произведение: Используем \( \sin x - \cos x = -\sqrt{2} \cos (x + \frac{\pi}{4}) \).
\( \sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{2} \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

Окончательный результат: \( 1 - \sin \alpha = \left( -\sqrt{2} \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right)^2 = 2 \cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

Ответ (для \( 1 - \sin \alpha \)): \( 2 \cos^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \)

3) \( 1 + 2 \cos \alpha \)

Ответ

Представим 1 как \( 2 \cdot \frac{1}{2} \). Выражение \( 1 + 2 \cos \alpha \) преобразуется в произведение, если \( \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} \).

Преобразование: \( 1 + 2 \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} + \cos \alpha \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos \alpha \right) \).

Применяем формулу суммы косинусов: \( \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \).

Подставляем: \( 2 \cdot 2 \cos \frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2} \).

Упрощаем: \( 4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right) \).

Ответ: \( 4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2} \right) \)

4) \( 1 + \sin \alpha \)

Ответ

Преобразовать \( 1 + \sin \alpha \) в произведение. Это задание рассмотрено в пояснении к варианту 1. Применим формулу квадрата суммы.

Используем тождества: \( 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \).

Сворачивание в квадрат суммы: \( 1 + \sin \alpha = \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)^2 \).

Окончательный результат (через квадрат синуса):
\( 1 + \sin \alpha = 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \).

Ответ: \( 2 \sin^2 \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \)

Что применять при решении

Сумма синусов

Формула преобразования суммы синусов в произведение.

\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность синусов

Формула преобразования разности синусов в произведение.

\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)

Сумма косинусов

Формула преобразования суммы косинусов в произведение.

\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность косинусов

Формула преобразования разности косинусов в произведение.

\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Преобразование произведения синуса и косинуса

Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

\( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)

Тангенс суммы

Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.

\( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

Косинус двойного угла (через синус)

Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.

\( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

Другие упражнения из параграфа § 32

537 538 539 540 541 542 543 544 545

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 32 — Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.