ГДЗ: Упражнение 543 - Параграф § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

543 упражнение:

Записать в виде произведения:

1) \( \cos 22^{\circ} + \cos 24^{\circ} + \cos 26^{\circ} + \cos 28^{\circ} \)

Ответ

Преобразуем \( \cos 22^{\circ} + \cos 24^{\circ} + \cos 26^{\circ} + \cos 28^{\circ} \) в произведение, используя формулу суммы косинусов, группируя слагаемые попарно: \( (\cos 22^{\circ} + \cos 28^{\circ}) + (\cos 24^{\circ} + \cos 26^{\circ}) \).

Первая сумма: \( \cos 22^{\circ} + \cos 28^{\circ} = 2 \cos \frac{22^{\circ} + 28^{\circ}}{2} \cos \frac{22^{\circ} - 28^{\circ}}{2} = 2 \cos 25^{\circ} \cos (-3^{\circ}) = 2 \cos 25^{\circ} \cos 3^{\circ} \).

Вторая сумма: \( \cos 24^{\circ} + \cos 26^{\circ} = 2 \cos \frac{24^{\circ} + 26^{\circ}}{2} \cos \frac{24^{\circ} - 26^{\circ}}{2} = 2 \cos 25^{\circ} \cos (-1^{\circ}) = 2 \cos 25^{\circ} \cos 1^{\circ} \).

Общая сумма: Выносим общий множитель \( 2 \cos 25^{\circ} \).
\( 2 \cos 25^{\circ} (\cos 3^{\circ} + \cos 1^{\circ}) \).

Применяем сумму косинусов к скобке:
\( \cos 3^{\circ} + \cos 1^{\circ} = 2 \cos \frac{3^{\circ} + 1^{\circ}}{2} \cos \frac{3^{\circ} - 1^{\circ}}{2} = 2 \cos 2^{\circ} \cos 1^{\circ} \).

Окончательный результат:
\( 2 \cos 25^{\circ} (2 \cos 2^{\circ} \cos 1^{\circ}) = 4 \cos 25^{\circ} \cos 2^{\circ} \cos 1^{\circ} \).

Ответ: \( 4 \cos 25^{\circ} \cos 2^{\circ} \cos 1^{\circ} \)

2) \( \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12} \)

Ответ

Преобразуем \( \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{3\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12} \) в произведение. Группируем слагаемые, чтобы получить «хорошие» средние углы: \( \left( \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12} \right) + \left( \cos \frac{3\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} \right) \).

Первая сумма: \( \cos \frac{\pi}{12} + \cos \frac{7\pi}{12} = 2 \cos \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{7\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{12} - \frac{7\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{8\pi/12}{2} \cos \frac{-6\pi/12}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} \).

Вторая сумма: \( \cos \frac{3\pi}{12} + \cos \frac{5\pi}{12} = 2 \cos \frac{\frac{3\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{3\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{8\pi/12}{2} \cos \frac{-2\pi/12}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{12} \).

Общая сумма: Выносим общий множитель \( 2 \cos \frac{\pi}{3} \).
\( 2 \cos \frac{\pi}{3} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{12} \right) \).

Вычисляем \( \cos \frac{\pi}{3} \): \( 2 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{12} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{12} \).

Применяем сумму косинусов к оставшимся:
\( 2 \cos \frac{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12}}{2} = 2 \cos \frac{4\pi/12}{2} \cos \frac{2\pi/12}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{12} \).

Вычисляем \( \cos \frac{\pi}{6} \): \( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12} \).

Ответ: \( \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12} \)

Что применять при решении

Сумма синусов

Формула преобразования суммы синусов в произведение.

\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность синусов

Формула преобразования разности синусов в произведение.

\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)

Сумма косинусов

Формула преобразования суммы косинусов в произведение.

\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность косинусов

Формула преобразования разности косинусов в произведение.

\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Преобразование произведения синуса и косинуса

Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

\( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)

Тангенс суммы

Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.

\( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

Косинус двойного угла (через синус)

Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.

\( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

Другие упражнения из параграфа § 32

537 538 539 540 541 542 543 544 545

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 32 — Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.