ГДЗ: Упражнение 544 - Параграф § 32 (Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

544 упражнение:

Доказать тождество \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \) и вычислить:

1) \( \operatorname{tg} 267^{\circ} + \operatorname{tg} 93^{\circ} \)

Ответ

Шаг 1: Доказательство тождества \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \).

Представим тангенсы через синусы и косинусы: \( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} \).

Приведем к общему знаменателю \( \cos \alpha \cos \beta \): \( \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} \).

Используем формулу синуса суммы: \( \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin (\alpha + \beta) \).

Получаем: \( \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \). Тождество доказано.

Шаг 2: Вычисление \( \operatorname{tg} 267^{\circ} + \operatorname{tg} 93^{\circ} \).

Используем доказанное тождество, где \( \alpha = 267^{\circ} \) и \( \beta = 93^{\circ} \).
\( \operatorname{tg} 267^{\circ} + \operatorname{tg} 93^{\circ} = \frac{\sin (267^{\circ} + 93^{\circ})}{\cos 267^{\circ} \cos 93^{\circ}} = \frac{\sin 360^{\circ}}{\cos 267^{\circ} \cos 93^{\circ}} \).

Вычисляем числитель: \( \sin 360^{\circ} = 0 \).

Проверяем знаменатель на ноль: \( \cos 267^{\circ} \) и \( \cos 93^{\circ} \) не равны нулю, поэтому деление возможно.

Окончательный результат: \( \frac{0}{\cos 267^{\circ} \cos 93^{\circ}} = 0 \).

Ответ: 0

2) \( \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{12} \)

Ответ

Вычислим \( \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{12} \) с помощью доказанного тождества.

Используем тождество, где \( \alpha = \frac{5\pi}{12} \) и \( \beta = \frac{7\pi}{12} \).
\( \operatorname{tg} \frac{5\pi}{12} + \operatorname{tg} \frac{7\pi}{12} = \frac{\sin (\frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12})}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} = \frac{\sin \frac{12\pi}{12}}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} = \frac{\sin \pi}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} \).

Вычисляем числитель: \( \sin \pi = 0 \).

Окончательный результат: \( \frac{0}{\cos \frac{5\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}} = 0 \).

Ответ: 0

Что применять при решении

Сумма синусов

Формула преобразования суммы синусов в произведение.

\( \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность синусов

Формула преобразования разности синусов в произведение.

\( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \)

Сумма косинусов

Формула преобразования суммы косинусов в произведение.

\( \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Разность косинусов

Формула преобразования разности косинусов в произведение.

\( \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \)

Преобразование произведения синуса и косинуса

Формула преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

\( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} (\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)) \)

Тангенс суммы

Формула суммы тангенсов, выраженная через синус и косинус.

\( \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \)

Косинус двойного угла (через синус)

Формула косинуса двойного угла, позволяющая заменить квадрат синуса.

\( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \)

Другие упражнения из параграфа § 32

537 538 539 540 541 542 543 544 545

Данные параграфа

К параграфу →

Глава: Глава 5
Параграф: § 32 — Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.