ГДЗ: Упражнение 691 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Областью определения функции \( y = \sin 2x \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \sin 2x \) имеет смысл.
Функция синуса \( \sin u \) определена для любого действительного значения аргумента \( u \).
В нашем случае аргументом является \( u = 2x \). Поскольку \( 2x \) определено для всех \( x \in \mathbb{R} \), функция \( y = \sin 2x \) определена для всех действительных чисел.
Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \) (множество всех действительных чисел).
2)
\( y = \cos \frac{x}{2} \)
Ответ
Областью определения функции \( y = \cos \frac{x}{2} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \cos \frac{x}{2} \) имеет смысл.
Функция косинуса \( \cos u \) определена для любого действительного значения аргумента \( u \).
В нашем случае аргументом является \( u = \frac{x}{2} \). Выражение \( \frac{x}{2} \) определено для всех \( x \in \mathbb{R} \), поэтому функция \( y = \cos \frac{x}{2} \) определена для всех действительных чисел.
Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \) (множество всех действительных чисел).
3)
\( y = \cos \frac{1}{x} \)
Ответ
Областью определения функции \( y = \cos \frac{1}{x} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \cos \frac{1}{x} \) имеет смысл.
Функция косинуса определена всегда, но ее аргумент \( \frac{1}{x} \) является дробью.
Дробь \( \frac{1}{x} \) определена только тогда, когда её знаменатель не равен нулю: \( x \neq 0 \).
Ответ: \( D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \), или \( x \neq 0 \).
4)
\( y = \sin \sqrt{x} \)
Ответ
Областью определения функции \( y = \sin \sqrt{x} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \sin \sqrt{x} \) имеет смысл.
Функция синуса определена всегда, но ее аргумент \( \sqrt{x} \) является квадратным корнем.
Выражение \( \sqrt{x} \) (квадратный корень) имеет смысл только в том случае, если подкоренное выражение неотрицательно: \( x \ge 0 \).
Ответ: \( D(y) = [0; +\infty) \), или \( x \ge 0 \).
5)
\( y = \sin \frac{x}{2} \)
Ответ
Областью определения функции \( y = \sin \frac{x}{2} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение \( \sin \frac{x}{2} \) имеет смысл.
Функция синуса \( \sin u \) определена для любого действительного значения аргумента \( u \).
В нашем случае аргументом является \( u = \frac{x}{2} \). Поскольку \( \frac{x}{2} \) определено для всех \( x \in \mathbb{R} \), функция \( y = \sin \frac{x}{2} \) определена для всех действительных чисел.
Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \) (множество всех действительных чисел).
6)
\( y = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \)
Ответ
Областью определения функции \( y = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \) является множество всех значений \( x \), при которых выражение имеет смысл.
Условие 1 (Корень): Выражение под корнем должно быть неотрицательно: \( \frac{x-1}{x+1} \ge 0 \).
Условие 2 (Знаменатель): Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \( x+1 \neq 0 \), то есть \( x \neq -1 \).
Решим неравенство \( \frac{x-1}{x+1} \ge 0 \) методом интервалов.
Нули числителя: \( x-1=0 \) при \( x=1 \).
Нули знаменателя: \( x+1=0 \) при \( x=-1 \).
Отметим точки \( -1 \) (выколотая) и \( 1 \) (закрашенная) на числовой прямой и определим знак дроби на полученных интервалах:
При \( x > 1 \), например \( x=2 \): \( \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3} > 0 \). Знак (+).
При \( -1 < x < 1 \), например \( x=0 \): \( \frac{0-1}{0+1} = -1 < 0 \). Знак (-).
При \( x < -1 \), например \( x=-2 \): \( \frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3 > 0 \). Знак (+).
Область определения функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), поскольку для любого действительного числа \( x \) можно определить соответствующие значения \( \sin x \) и \( \cos x \).
\( D(y) = \mathbb{R} \)
Множество значений функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Множество значений функций синуса и косинуса — это отрезок \( [-1; 1] \), так как для любого угла значения синуса и косинуса не могут быть меньше -1 и больше 1.
\( E(y) = [-1; 1] \)
Область определения функции \( y = \mathrm{tg} x \)
Функция тангенса \( y = \mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \cos x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения функции \( y = \mathrm{ctg} x \)
Функция котангенса \( y = \mathrm{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \sin x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения корня четной степени
Выражение \( \sqrt{f(x)} \) имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение \( f(x) \) неотрицательно.
\( f(x) \ge 0 \)
Свойства логарифма
Выражение \( \log_a f(x) \) или \( \ln f(x) \) имеет смысл только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно.
\( f(x) > 0 \)
Метод вспомогательного угла
Выражение вида \( a \sin x + b \cos x \) можно преобразовать к виду \( \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \), где \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) и \( \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Это позволяет найти множество значений функции \( y = a \sin x + b \cos x \).
\( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
