ГДЗ: Упражнение 692 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Множество значений функции \( y = 1 + \sin x \) зависит от множества значений функции \( \sin x \).
Известно, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) функция синуса принимает значения в отрезке \( [-1; 1] \): \( -1 \le \sin x \le 1 \)
Для нахождения множества значений \( y = 1 + \sin x \) прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства: \( -1 + 1 \le 1 + \sin x \le 1 + 1 \) \( 0 \le 1 + \sin x \le 2 \)
Таким образом, \( 0 \le y \le 2 \).
Ответ: \( E(y) = [0; 2] \).
2)
\( y = 1 - \cos x \)
Ответ
Множество значений функции \( y = 1 - \cos x \) зависит от множества значений функции \( \cos x \).
Известно, что для любого \( x \in \mathbb{R} \) функция косинуса принимает значения в отрезке \( [-1; 1] \): \( -1 \le \cos x \le 1 \)
Сначала умножим все части неравенства на \( -1 \). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: \( (-1) \cdot (-1) \ge - \cos x \ge (-1) \cdot 1 \) \( 1 \ge - \cos x \ge -1 \), или, что то же самое: \( -1 \le - \cos x \le 1 \)
Теперь прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства: \( -1 + 1 \le 1 - \cos x \le 1 + 1 \) \( 0 \le 1 - \cos x \le 2 \)
Таким образом, \( 0 \le y \le 2 \).
Ответ: \( E(y) = [0; 2] \).
3)
\( y = 2 \sin x + 3 \)
Ответ
Множество значений функции \( y = 2 \sin x + 3 \) зависит от множества значений функции \( \sin x \).
Начнем с известного факта: \( -1 \le \sin x \le 1 \)
Умножим все части на 2: \( 2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1 \) \( -2 \le 2 \sin x \le 2 \)
Прибавим 3 ко всем частям: \( -2 + 3 \le 2 \sin x + 3 \le 2 + 3 \) \( 1 \le 2 \sin x + 3 \le 5 \)
Таким образом, \( 1 \le y \le 5 \).
Ответ: \( E(y) = [1; 5] \).
4)
\( y = 1 - 4 \cos 2x \)
Ответ
Множество значений функции \( y = 1 - 4 \cos 2x \) зависит от множества значений функции \( \cos 2x \).
Аргумент \( 2x \) пробегает все действительные числа, поэтому функция косинуса \( \cos 2x \) принимает все значения из отрезка \( [-1; 1] \): \( -1 \le \cos 2x \le 1 \)
Умножим все части на \( -4 \). При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: \( (-4) \cdot (-1) \ge -4 \cos 2x \ge (-4) \cdot 1 \) \( 4 \ge -4 \cos 2x \ge -4 \), или: \( -4 \le -4 \cos 2x \le 4 \)
Область определения функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), поскольку для любого действительного числа \( x \) можно определить соответствующие значения \( \sin x \) и \( \cos x \).
\( D(y) = \mathbb{R} \)
Множество значений функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Множество значений функций синуса и косинуса — это отрезок \( [-1; 1] \), так как для любого угла значения синуса и косинуса не могут быть меньше -1 и больше 1.
\( E(y) = [-1; 1] \)
Область определения функции \( y = \mathrm{tg} x \)
Функция тангенса \( y = \mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \cos x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения функции \( y = \mathrm{ctg} x \)
Функция котангенса \( y = \mathrm{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \sin x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения корня четной степени
Выражение \( \sqrt{f(x)} \) имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение \( f(x) \) неотрицательно.
\( f(x) \ge 0 \)
Свойства логарифма
Выражение \( \log_a f(x) \) или \( \ln f(x) \) имеет смысл только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно.
\( f(x) > 0 \)
Метод вспомогательного угла
Выражение вида \( a \sin x + b \cos x \) можно преобразовать к виду \( \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \), где \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) и \( \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Это позволяет найти множество значений функции \( y = a \sin x + b \cos x \).
\( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
