ГДЗ: Упражнение 694 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Требуется условие: \( \sin x + 1 \ge 0 \)
Перенесем 1 в правую часть: \( \sin x \ge -1 \)
Известно, что функция синуса всегда удовлетворяет неравенству \( \sin x \ge -1 \), так как её минимальное значение равно -1. Таким образом, это неравенство верно для всех действительных чисел \( x \).
Ответ: \( D(y) = \mathbb{R} \) (множество всех действительных чисел).
2)
\( y = \sqrt{\cos x - 1} \)
Ответ
Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Требуется условие: \( \cos x - 1 \ge 0 \)
Перенесем 1 в правую часть: \( \cos x \ge 1 \)
Известно, что функция косинуса всегда удовлетворяет неравенству \( \cos x \le 1 \). Совмещая \( \cos x \ge 1 \) и \( \cos x \le 1 \), получаем, что единственно возможное условие — это равенство: \( \cos x = 1 \)
Уравнение \( \cos x = 1 \) имеет решения \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( D(y) = \left\{ 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \right\} \).
3)
\( y = \lg \sin x \)
Ответ
Функция содержит логарифм (десятичный логарифм, \( \lg \)), поэтому выражение под логарифмом должно быть строго положительным.
Требуется условие: \( \sin x > 0 \)
Синус положителен в I и II четвертях тригонометрического круга. Решение неравенства \( \sin x > 0 \) в общем виде: \( 2\pi n < x < \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid 2\pi n < x < \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \) (где \( n \in \mathbb{Z} \)).
4)
\( y = \sqrt{2 \cos x - 1} \)
Ответ
Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Требуется условие: \( 2 \cos x - 1 \ge 0 \)
Перенесем 1 и разделим на 2: \( 2 \cos x \ge 1 \) \( \cos x \ge \frac{1}{2} \)
Неравенство \( \cos x \ge \frac{1}{2} \) выполняется на отрезке от \( -\frac{\pi}{3} \) до \( \frac{\pi}{3} \) и с учетом периодичности \( 2\pi \).
Ответ: \( D(y) = \left[ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z} \).
5)
\( y = \sqrt{1 - 2 \sin x} \)
Ответ
Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Требуется условие: \( 1 - 2 \sin x \ge 0 \)
Перенесем \( -2 \sin x \) в правую часть: \( 1 \ge 2 \sin x \)
Разделим на 2: \( \sin x \le \frac{1}{2} \)
Неравенство \( \sin x \le \frac{1}{2} \) выполняется на отрезке от \( -\pi - \frac{\pi}{6} \) (или \( -\frac{7\pi}{6} \)) до \( \frac{\pi}{6} \) и с учетом периодичности \( 2\pi \).
Ответ: \( D(y) = \left[ -\frac{7\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right], \quad n \in \mathbb{Z} \).
6)
\( y = \ln \cos x \)
Ответ
Функция содержит натуральный логарифм (\( \ln \)), поэтому выражение под логарифмом должно быть строго положительным.
Требуется условие: \( \cos x > 0 \)
Косинус положителен в I и IV четвертях тригонометрического круга. Решение неравенства \( \cos x > 0 \) в общем виде: \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid -\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \) (где \( n \in \mathbb{Z} \)).
Что применять при решении
Область определения функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), поскольку для любого действительного числа \( x \) можно определить соответствующие значения \( \sin x \) и \( \cos x \).
\( D(y) = \mathbb{R} \)
Множество значений функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Множество значений функций синуса и косинуса — это отрезок \( [-1; 1] \), так как для любого угла значения синуса и косинуса не могут быть меньше -1 и больше 1.
\( E(y) = [-1; 1] \)
Область определения функции \( y = \mathrm{tg} x \)
Функция тангенса \( y = \mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \cos x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения функции \( y = \mathrm{ctg} x \)
Функция котангенса \( y = \mathrm{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \sin x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения корня четной степени
Выражение \( \sqrt{f(x)} \) имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение \( f(x) \) неотрицательно.
\( f(x) \ge 0 \)
Свойства логарифма
Выражение \( \log_a f(x) \) или \( \ln f(x) \) имеет смысл только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно.
\( f(x) > 0 \)
Метод вспомогательного угла
Выражение вида \( a \sin x + b \cos x \) можно преобразовать к виду \( \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \), где \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) и \( \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Это позволяет найти множество значений функции \( y = a \sin x + b \cos x \).
\( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
