ГДЗ: Упражнение 695 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю.
Требуется условие: \( 2 \sin^2 x - \sin x \neq 0 \)
Вынесем \( \sin x \) за скобки: \( \sin x (2 \sin x - 1) \neq 0 \)
Это неравенство эквивалентно двум условиям: 1) \( \sin x \neq 0 \) 2) \( 2 \sin x - 1 \neq 0 \), то есть \( 2 \sin x \neq 1 \), или \( \sin x \neq \frac{1}{2} \)
Решения \( \sin x = 0 \) дают \( x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Решения \( \sin x = \frac{1}{2} \) дают \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).
Область определения — все действительные числа, кроме найденных значений.
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, \quad x \neq \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x \neq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \right\} \).
2)
\( y = \frac{2}{\cos^2 x - \sin^2 x} \)
Ответ
Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).
Преобразуем знаменатель: \( \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \).
Требуется условие: \( \cos 2x \neq 0 \)
Решения \( \cos 2x = 0 \) дают \( 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Разделим на 2: \( x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Область определения — все действительные числа, кроме найденных значений.
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \).
3)
\( y = \frac{1}{\sin x - \sin 3x} \)
Ответ
Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю. Используем формулу разности синусов: \( \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \).
Поскольку \( \sin (-x) = -\sin x \), получаем: \( -2 \sin x \cos 2x \).
Требуется условие: \( -2 \sin x \cos 2x \neq 0 \)
Это эквивалентно двум условиям: 1) \( \sin x \neq 0 \), что дает \( x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \). 2) \( \cos 2x \neq 0 \), что дает \( 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \), или \( x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, \quad x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z} \right\} \).
4)
\( y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x} \)
Ответ
Функция является дробью, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю.
Требуется условие: \( \cos^3 x + \cos x \neq 0 \)
Вынесем \( \cos x \) за скобки: \( \cos x (\cos^2 x + 1) \neq 0 \)
Это неравенство эквивалентно двум условиям: 1) \( \cos x \neq 0 \) 2) \( \cos^2 x + 1 \neq 0 \)
Условие 2) выполняется всегда, так как \( \cos^2 x \ge 0 \), и, следовательно, \( \cos^2 x + 1 \ge 1 \), что всегда не равно нулю.
Остается только условие 1): \( \cos x \neq 0 \).
Решения \( \cos x = 0 \) дают \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \).
Что применять при решении
Область определения функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), поскольку для любого действительного числа \( x \) можно определить соответствующие значения \( \sin x \) и \( \cos x \).
\( D(y) = \mathbb{R} \)
Множество значений функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Множество значений функций синуса и косинуса — это отрезок \( [-1; 1] \), так как для любого угла значения синуса и косинуса не могут быть меньше -1 и больше 1.
\( E(y) = [-1; 1] \)
Область определения функции \( y = \mathrm{tg} x \)
Функция тангенса \( y = \mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \cos x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения функции \( y = \mathrm{ctg} x \)
Функция котангенса \( y = \mathrm{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \sin x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения корня четной степени
Выражение \( \sqrt{f(x)} \) имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение \( f(x) \) неотрицательно.
\( f(x) \ge 0 \)
Свойства логарифма
Выражение \( \log_a f(x) \) или \( \ln f(x) \) имеет смысл только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно.
\( f(x) > 0 \)
Метод вспомогательного угла
Выражение вида \( a \sin x + b \cos x \) можно преобразовать к виду \( \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \), где \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) и \( \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Это позволяет найти множество значений функции \( y = a \sin x + b \cos x \).
\( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
