ГДЗ: Упражнение 693 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Областью определения функции \( y = \frac{1}{\cos x} \) являются те значения \( x \), при которых знаменатель не равен нулю.
Требуется условие: \( \cos x \neq 0 \)
Уравнение \( \cos x = 0 \) имеет решения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Следовательно, область определения \( D(y) \) — это все действительные числа, кроме этих значений.
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \).
2)
\( y = \frac{2}{\sin x} \)
Ответ
Областью определения функции \( y = \frac{2}{\sin x} \) являются те значения \( x \), при которых знаменатель не равен нулю.
Требуется условие: \( \sin x \neq 0 \)
Уравнение \( \sin x = 0 \) имеет решения \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Следовательно, область определения \( D(y) \) — это все действительные числа, кроме этих значений.
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \).
3)
\( y = \mathrm{tg} \frac{x}{3} \)
Ответ
Функция \( y = \mathrm{tg} u \) определена, когда ее аргумент \( u \) не равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
В данном случае аргумент \( u = \frac{x}{3} \).
Требуется условие: \( \frac{x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы найти \( x \): \( x \neq 3 \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \) \( x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \).
4)
\( y = \mathrm{tg} 5x \)
Ответ
Функция \( y = \mathrm{tg} u \) определена, когда ее аргумент \( u \) не равен \( \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
В данном случае аргумент \( u = 5x \).
Требуется условие: \( 5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Разделим обе части неравенства на 5, чтобы найти \( x \): \( x \neq \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \) \( x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} \).
Ответ: \( D(y) = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} \right\} \).
Что применять при решении
Область определения функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), поскольку для любого действительного числа \( x \) можно определить соответствующие значения \( \sin x \) и \( \cos x \).
\( D(y) = \mathbb{R} \)
Множество значений функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Множество значений функций синуса и косинуса — это отрезок \( [-1; 1] \), так как для любого угла значения синуса и косинуса не могут быть меньше -1 и больше 1.
\( E(y) = [-1; 1] \)
Область определения функции \( y = \mathrm{tg} x \)
Функция тангенса \( y = \mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \cos x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения функции \( y = \mathrm{ctg} x \)
Функция котангенса \( y = \mathrm{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \sin x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения корня четной степени
Выражение \( \sqrt{f(x)} \) имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение \( f(x) \) неотрицательно.
\( f(x) \ge 0 \)
Свойства логарифма
Выражение \( \log_a f(x) \) или \( \ln f(x) \) имеет смысл только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно.
\( f(x) > 0 \)
Метод вспомогательного угла
Выражение вида \( a \sin x + b \cos x \) можно преобразовать к виду \( \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \), где \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) и \( \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Это позволяет найти множество значений функции \( y = a \sin x + b \cos x \).
\( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
