ГДЗ: Упражнение 699 - § 38 (Область определения и множество значений тригонометрических функций) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найти множество значений функции \( y = 10 \cos^2 x - 6 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x \).
1)
Ответ
Преобразуем функцию, используя формулы двойного угла и формулы понижения степени.
Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) и формулу двойного угла для синуса \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
Выделим слагаемое \( 2 \cos^2 x \) (чтобы объединить с \( 2 \sin^2 x \)): \( y = 8 \cos^2 x + 2 \cos^2 x - 6 \sin x \cos x + 2 \sin^2 x \) \( y = 8 \cos^2 x + 2 (\cos^2 x + \sin^2 x) - 3 (2 \sin x \cos x) \) \( y = 8 \cos^2 x + 2 \cdot 1 - 3 \sin 2x \) \( y = 8 \cos^2 x - 3 \sin 2x + 2 \)
Используем формулу понижения степени для \( \cos^2 x \): \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \): \( y = 8 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) - 3 \sin 2x + 2 \) \( y = 4 (1 + \cos 2x) - 3 \sin 2x + 2 \) \( y = 4 + 4 \cos 2x - 3 \sin 2x + 2 \) \( y = 4 \cos 2x - 3 \sin 2x + 6 \)
Теперь задача сводится к нахождению множества значений функции \( f(x) = 4 \cos 2x - 3 \sin 2x \), а затем прибавлению 6.
Для \( f(x) = a \cos u + b \sin u \), где \( a=4 \), \( b=-3 \), множество значений: \( [-\sqrt{a^2+b^2}; \sqrt{a^2+b^2}] \).
Множество значений для \( 4 \cos 2x - 3 \sin 2x \) — это \( [-5; 5] \).
Для функции \( y = 4 \cos 2x - 3 \sin 2x + 6 \) прибавим 6 ко всем границам интервала: \( -5 + 6 \le y \le 5 + 6 \) \( 1 \le y \le 11 \)
Ответ: \( E(y) = [1; 11] \).
Что применять при решении
Область определения функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Областью определения функций синуса и косинуса является множество всех действительных чисел \( \mathbb{R} \), поскольку для любого действительного числа \( x \) можно определить соответствующие значения \( \sin x \) и \( \cos x \).
\( D(y) = \mathbb{R} \)
Множество значений функций \( y = \sin x \) и \( y = \cos x \)
Множество значений функций синуса и косинуса — это отрезок \( [-1; 1] \), так как для любого угла значения синуса и косинуса не могут быть меньше -1 и больше 1.
\( E(y) = [-1; 1] \)
Область определения функции \( y = \mathrm{tg} x \)
Функция тангенса \( y = \mathrm{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \cos x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения функции \( y = \mathrm{ctg} x \)
Функция котангенса \( y = \mathrm{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \) определена только тогда, когда знаменатель \( \sin x \neq 0 \). Это условие не выполняется при \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
\( D(y): x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)
Область определения корня четной степени
Выражение \( \sqrt{f(x)} \) имеет смысл только в том случае, когда подкоренное выражение \( f(x) \) неотрицательно.
\( f(x) \ge 0 \)
Свойства логарифма
Выражение \( \log_a f(x) \) или \( \ln f(x) \) имеет смысл только в том случае, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, строго положительно.
\( f(x) > 0 \)
Метод вспомогательного угла
Выражение вида \( a \sin x + b \cos x \) можно преобразовать к виду \( \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \), где \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \) и \( \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Это позволяет найти множество значений функции \( y = a \sin x + b \cos x \).
\( a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin(x+\alpha) \)
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
