ГДЗ: Упражнение 910 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
На рисунке 130 изображён график функции \( y = f(x) \). Найти точки максимума и минимума этой функции.
1)
Ответ
Пояснение: Точки максимума — это точки, в которых функция меняет монотонность с возрастания на убывание. Точки минимума — это точки, в которых функция меняет монотонность с убывания на возрастание. На графике функции \( y = f(x) \) (рис. 130):
Функция возрастает на \( [-2,5; -1,5] \) и на \( [0,5; 1,5] \).
Функция убывает на \( [-3; -2,5] \), на \( [-1,5; 0,5] \) и на \( [1,5; 3] \).
Таким образом, точки, в которых функция меняет своё поведение:
В точке \( x \approx -2,5 \) функция меняет убывание на возрастание. Это точка минимума.
В точке \( x \approx -1,5 \) функция меняет возрастание на убывание. Это точка максимума.
В точке \( x \approx 0,5 \) функция меняет убывание на возрастание. Это точка минимума.
В точке \( x \approx 1,5 \) функция меняет возрастание на убывание. Это точка максимума.
В граничных точках \( x = -3 \) и \( x = 3 \) функция также достигает локальных экстремумов, но в контексте школьной программы, обычно ищутся внутренние точки экстремума. Принимая во внимание только внутренние точки, где производная меняет знак, получаем:
Ответ: Точки максимума: \( x \approx -1,5 \), \( x \approx 1,5 \). Точки минимума: \( x \approx -2,5 \), \( x \approx 0,5 \).
Что применять при решении
Точка максимума
Точка \( x_0 \) называется точкой максимума функции \( f(x) \), если существует такая окрестность точки \( x_0 \), что для всех \( x \ne x_0 \) из этой окрестности выполняется неравенство \( f(x) < f(x_0) \).
Точка минимума
Точка \( x_0 \) называется точкой минимума функции \( f(x) \), если существует такая окрестность точки \( x_0 \), что для всех \( x \ne x_0 \) из этой окрестности выполняется неравенство \( f(x) > f(x_0) \).
Точки экстремума
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
Если функция \( f(x) \) имеет в точке \( x_0 \) экстремум и дифференцируема в этой точке, то \( f'(x_0) = 0 \).
\( f'(x_0) = 0 \)
Стационарные точки
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Достаточное условие экстремума
Если производная \( f'(x) \) при переходе через стационарную точку \( x_0 \)
меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
