ГДЗ: Упражнение 911 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
На рисунке 131 изображён график функции \( y = f(x) \). Найти критические точки этой функции.
1)
Ответ
Пояснение: Критические точки функции — это внутренние точки её области определения, в которых производная равна нулю или не существует. На графике функции \( y = f(x) \) (рис. 131):
Производная равна нулю в точках, где касательная к графику параллельна оси \( Ox \). Это точки локальных максимумов и минимумов, где график плавно меняет направление. На графике это приблизительно \( x = -2 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \).
Производная не существует в точках, где график имеет «излом» (острый угол). На графике такая точка: \( x = -1 \). (Хотя этот график выглядит как плавная кривая, типичные примеры критических точек, где производная не существует, — это «острые» точки).
Учитывая, что на рисунке 131 график представляет собой гладкую кривую (без острых углов), критические точки — это те, в которых производная равна нулю (стационарные точки):
В точке \( x \approx -2 \) — точка максимума.
В точке \( x \approx 0 \) — точка минимума.
В точке \( x \approx 2 \) — точка максимума.
Ответ: Критические точки: \( x \approx -2 \), \( x \approx 0 \), \( x \approx 2 \).
Что применять при решении
Точка максимума
Точка \( x_0 \) называется точкой максимума функции \( f(x) \), если существует такая окрестность точки \( x_0 \), что для всех \( x \ne x_0 \) из этой окрестности выполняется неравенство \( f(x) < f(x_0) \).
Точка минимума
Точка \( x_0 \) называется точкой минимума функции \( f(x) \), если существует такая окрестность точки \( x_0 \), что для всех \( x \ne x_0 \) из этой окрестности выполняется неравенство \( f(x) > f(x_0) \).
Точки экстремума
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
Если функция \( f(x) \) имеет в точке \( x_0 \) экстремум и дифференцируема в этой точке, то \( f'(x_0) = 0 \).
\( f'(x_0) = 0 \)
Стационарные точки
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Достаточное условие экстремума
Если производная \( f'(x) \) при переходе через стационарную точку \( x_0 \)
меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
