ГДЗ: Упражнение 922 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Найдём стационарные точки (\( y' = 0 \)): \( e^{-x} (x + 1)^{n-1} (n - 1 - x) = 0 \). Так как \( e^{-x} > 0 \), то: \( (x + 1)^{n-1} = 0 \implies x_1 = -1 \), при \( n \ge 2 \). \( n - 1 - x = 0 \implies x_2 = n - 1 \). Критические точки: \( x = -1 \) (при \( n \ge 2 \)) и \( x = n - 1 \).
Исследуем знак производной (достаточное условие экстремума).
Случай 1: \( n = 1 \) \( y = (x + 1) e^{-x} \). \( y' = e^{-x} (x + 1)^{1-1} (1 - 1 - x) = e^{-x} (-x) = -x e^{-x} \). Критическая точка: \( -x e^{-x} = 0 \implies x = 0 \). Если \( x < 0 \), то \( -x > 0 \implies y' > 0 \) (возрастание). Если \( x > 0 \), то \( -x < 0 \implies y' < 0 \) (убывание). \( x = 0 \) — точка максимума. Значение: \( y(0) = 1 \cdot e^0 = 1 \).
Случай 2: \( n \ge 2 \) (четное) \( n - 1 \) нечетное. Множитель \( (x + 1)^{n-1} \) меняет знак в \( x = -1 \). \( n - 1 - x \) меняет знак в \( x = n - 1 \). На интервале \( (-1; n - 1) \): \( (x + 1)^{n-1} > 0 \), \( n - 1 - x > 0 \implies y' > 0 \) (возрастание). На интервале \( (n - 1; +\infty) \): \( (x + 1)^{n-1} > 0 \), \( n - 1 - x < 0 \implies y' < 0 \) (убывание). \( x = -1 \) — точка минимума (т.к. \( n-1 \) нечетное). \( x = n - 1 \) — точка максимума.
Случай 3: \( n \ge 3 \) (нечетное) \( n - 1 \) четное. Множитель \( (x + 1)^{n-1} \ge 0 \) не меняет знак в \( x = -1 \). Критическая точка \( x = -1 \) не является экстремумом. На интервале \( (-1; n - 1) \): \( (x + 1)^{n-1} > 0 \), \( n - 1 - x > 0 \implies y' > 0 \) (возрастание). На интервале \( (n - 1; +\infty) \): \( (x + 1)^{n-1} > 0 \), \( n - 1 - x < 0 \implies y' < 0 \) (убывание). \( x = n - 1 \) — точка максимума.
Ответ:
Если \( n = 1 \), то \( x = 0 \) — точка максимума.
Если \( n \ge 2 \) и \( n \) четное, то \( x = -1 \) — точка минимума, \( x = n - 1 \) — точка максимума.
Если \( n \ge 3 \) и \( n \) нечетное, то \( x = n - 1 \) — точка максимума.
Что применять при решении
Точка максимума
Точка \( x_0 \) называется точкой максимума функции \( f(x) \), если существует такая окрестность точки \( x_0 \), что для всех \( x \ne x_0 \) из этой окрестности выполняется неравенство \( f(x) < f(x_0) \).
Точка минимума
Точка \( x_0 \) называется точкой минимума функции \( f(x) \), если существует такая окрестность точки \( x_0 \), что для всех \( x \ne x_0 \) из этой окрестности выполняется неравенство \( f(x) > f(x_0) \).
Точки экстремума
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
Если функция \( f(x) \) имеет в точке \( x_0 \) экстремум и дифференцируема в этой точке, то \( f'(x_0) = 0 \).
\( f'(x_0) = 0 \)
Стационарные точки
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Достаточное условие экстремума
Если производная \( f'(x) \) при переходе через стационарную точку \( x_0 \)
меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
