ГДЗ: Упражнение 917 - § 50 (Экстремумы функции) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)
Построить эскиз графика непрерывной функции \( y = f(x) \), определённой на отрезке \([a; b]\), если:
1)
\( a = -1, b = 7, f(-1) = 0, f(7) = -2, f'(x) > 0 \) при \( -1 < x < 4, f'(x) < 0 \) при \( 4 < x < 7, f'(4) = 0 \).
Ответ
Пояснение: Функция непрерывна на \([-1; 7]\). Используем данные для построения эскиза.
Границы и значения: Точки \( (-1; 0) \) и \( (7; -2) \).
Монотонность:
\( f'(x) > 0 \) при \( -1 < x < 4 \): функция возрастает на интервале \( (-1; 4) \).
\( f'(x) < 0 \) при \( 4 < x < 7 \): функция убывает на интервале \( (4; 7) \).
Критическая точка: \( f'(4) = 0 \). Так как функция меняет возрастание на убывание в точке \( x = 4 \), это точка максимума. Значение \( f(4) \) должно быть больше \( f(-1) = 0 \) и \( f(7) = -2 \).
Эскиз: График начинается в точке \( (-1; 0) \), возрастает до точки максимума \( (4; f(4)) \), где касательная горизонтальна, а затем убывает до точки \( (7; -2) \).
2)
\( a = -5, b = 4, f(-5) = 1, f(4) = -3, f'(x) < 0 \) при \( -5 < x < -1, f'(x) > 0 \) при \( -1 < x < 4, f'(-1) = 0 \).
Ответ
Пояснение: Функция непрерывна на \([-5; 4]\). Используем данные для построения эскиза.
Границы и значения: Точки \( (-5; 1) \) и \( (4; -3) \).
Монотонность:
\( f'(x) < 0 \) при \( -5 < x < -1 \): функция убывает на интервале \( (-5; -1) \).
\( f'(x) > 0 \) при \( -1 < x < 4 \): функция возрастает на интервале \( (-1; 4) \).
Критическая точка: \( f'(-1) = 0 \). Так как функция меняет убывание на возрастание в точке \( x = -1 \), это точка минимума. Значение \( f(-1) \) должно быть меньше \( f(-5) = 1 \) и \( f(4) = -3 \). Поскольку \( f(4) = -3 \), то \( f(-1) \) должно быть меньше \( -3 \).
Эскиз: График начинается в точке \( (-5; 1) \), убывает до точки минимума \( (-1; f(-1)) \), где касательная горизонтальна, а затем возрастает до точки \( (4; -3) \).
Что применять при решении
Точка максимума
Точка \( x_0 \) называется точкой максимума функции \( f(x) \), если существует такая окрестность точки \( x_0 \), что для всех \( x \ne x_0 \) из этой окрестности выполняется неравенство \( f(x) < f(x_0) \).
Точка минимума
Точка \( x_0 \) называется точкой минимума функции \( f(x) \), если существует такая окрестность точки \( x_0 \), что для всех \( x \ne x_0 \) из этой окрестности выполняется неравенство \( f(x) > f(x_0) \).
Точки экстремума
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума)
Если функция \( f(x) \) имеет в точке \( x_0 \) экстремум и дифференцируема в этой точке, то \( f'(x_0) = 0 \).
\( f'(x_0) = 0 \)
Стационарные точки
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Достаточное условие экстремума
Если производная \( f'(x) \) при переходе через стационарную точку \( x_0 \)
меняет знак с «+» на «−», то \( x_0 \) — точка максимума;
меняет знак с «−» на «+», то \( x_0 \) — точка минимума;
не меняет знак, то \( x_0 \) не является точкой экстремума.
Создать проектГотовый файл Word. Оплата после того, как увидите работу.
Уведомление об авторском праве и цитировании
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов
используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме,
оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве
(в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования
указаны для каждого используемого фрагмента.
